结论前置：员工和公司没有签劳动合同，员工通常有权申请赔偿，具体赔偿情形和计算方式依据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定执行。以下从多个角度进行详细分析：
一、法律依据与赔偿情形
根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。若用人单位自用工之日起满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，视为已订立无固定期限劳动合同，并应自应当订立无固定期限劳动合同之日起向劳动者每月支付二倍的工资。具体情形如下：
入职一个月内：
- 法律允许的一个月协商期内，若用人单位书面通知后劳动者仍不与用人单位订立书面劳动合同，用人单位可终止劳动关系，无需支付经济补偿，但需支付实际工作时间的劳动报酬。
超过一个月不满一年：
- 用人单位需向劳动者每月支付两倍的工资，起算时间为用工之日起满一个月的次日，截止时间为补订书面劳动合同的前一日。最多支付11个月的二倍工资。
- 示例：若员工于2024年1月1日入职，至2024年10月31日仍未签合同且离职，则公司需额外支付其2024年2月1日至10月31日期间的双倍工资差额。
满一年未签订：
- 视为已订立无固定期限劳动合同，用人单位应自用工之日起满一个月的次日至满一年的前一日，向劳动者每月支付两倍的工资，并立即补订书面劳动合同。
- 示例：若员工在公司连续工作满10年，自2024年1月1日起公司应与其订立无固定期限合同但未订，则公司需从该日起每月额外支付其二倍工资的差额部分。
二、赔偿计算
- 双倍工资：对于超过一个月不满一年未签合同的情况，以及满一年未签合同但视为已订立无固定期限劳动合同的情况，用人单位均需按月支付二倍工资作为赔偿。
- 计算周期：双倍工资的计算周期最多为11个月，即从用工之日起满一个月的次日至满一年的前一日。
- 计算公式：假设员工月工资为W，未签合同的时间为M个月（M≤11），则赔偿金额为W×M。
三、责任归属与证据要求
- 公司责任：若因公司原因未签订劳动合同，公司需承担上述赔偿责任。
- 员工责任：若员工自己不愿意签订劳动合同，且公司能提供充分证据证明是员工的问题，则公司无需赔偿。
- 证据收集：为了证明与公司存在劳动关系及责任归属，劳动者应收集并保存相关证据，如工资支付凭证（银行流水、工资条）、工作证、考勤记录、同事证言等。
四、主张赔偿的途径与时效
- 申请劳动仲裁：劳动者可向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求用人单位支付双倍工资。
- 仲裁时效：劳动争议申请仲裁的时效期间为一年，从当事人知道或者应当知道其权利被侵害之日起计算。因此，劳动者应及时行使自己的权利，避免错过仲裁时效。
五、特殊情况与注意事项
- 经济补偿金：若因用人单位未签订劳动合同导致劳动者主动离职，用人单位还需按每工作一年支付一个月工资的标准向劳动者支付经济补偿金。
- 法律意识：员工在维权过程中应充分了解相关法律法规，确保自己的诉求合理合法。
综上所述，员工和公司没有签劳动合同的情况下，员工有权根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定申请赔偿。在维权过程中，员工应注重证据收集，选择合适的维权途径，并及时主张自己的权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。