针对您提出的“商人留置期间行贿及不当所得认罪认罚如何合法申诉”的问题，以下是我为您提供的详细解答：
首先，需要明确的是，留置是监察机关对涉嫌严重职务违法或犯罪的被调查人采取的一种调查措施，它本身并不是一种刑罚。在留置期间，如果商人承认了行贿及不当所得的行为，并表达了认罪认罚的态度，这通常是在监察机关调查过程中的一种配合表现。然而，如果商人认为留置措施存在不当或错误，他仍然有权进行申诉。
申诉主体与时间：
- 被留置的商人及其近亲属有权提出申诉。
- 申诉应当在知道留置决定作出后的合理时间内提出。虽然目前没有明确的统一规定，但建议尽快提出以维护自身权益。
申诉途径：
向作出留置决定的监察机关提出申诉：
- 商人可以直接向作出留置决定的监察机关提出申诉，要求其对留置措施进行审查复核。
- 监察机关应当受理并进行审查，如果发现留置确实存在错误等情况，应当及时纠正。
向上一级监察机关提出复查申请：
- 如果商人认为下一级监察机关的处理结果不公正或存在不当行为，他可以向上一级监察机关提出复查申请。
- 上一级监察机关会对申诉情况进行审查，这有助于保证审查的公正性。
申诉内容与证据：
- 在申诉时，商人需要明确指出留置存在的问题，例如留置不符合法定情形（如没有证据表明存在职务违法或犯罪等）、留置程序不合法（如审批手续不全等）等。
- 同时，商人需要提供相应的证据或者证据线索来支持自己的申诉主张。这些证据可以是书面材料、证人证言、录音录像等，以便监察机关能准确进行审查。
关于认罪认罚与申诉的关系：
- 认罪认罚是商人在调查过程中的一种配合表现，但这并不妨碍他提出申诉。如果商人认为留置措施存在不当或错误，他仍然有权进行申诉，并要求监察机关进行审查复核。
- 申诉的目的是为了纠正可能存在的错误或不当行为，保障商人的合法权益。因此，即使商人已经认罪认罚，他仍然可以依法进行申诉。
最后，需要强调的是，申诉过程应当遵循法定程序和规定，确保申诉的合法性和有效性。同时，商人也应当积极配合监察机关的调查工作，如实陈述事实，提供相关证据和线索。