针对您提出的“商人留置期间认罪认罚出来后如何合法申诉”的问题，以下是我为您提供的详细解答：

一、申诉主体与时间

1. 申诉主体：作为被留置人，您本人以及您的近亲属（如配偶、父母、子女等）都有权提出申诉。

2. 申诉时间：申诉应当在您知道留置决定作出后的合理时间内提出。虽然目前没有像诉讼时效那样非常明确统一的规定，但为了维护您的合法权益，建议您尽快提出申诉。

二、申诉途径

1. 向作出留置决定的监察机关提出申诉：

   • 您可以向最初作出留置决定的监察机关提交申诉材料，监察机关应当受理并进行审查复核。
   • 如果监察机关发现留置确实存在错误，如留置不符合法定情形、留置程序不合法等，应当及时纠正。

2. 向上一级监察机关提出复查申请：

   • 如果您对下一级监察机关的处理结果不满意，可以向上一级监察机关提出复查申请。
   • 上一级监察机关会对申诉情况进行审查，这有助于保证审查的公正性，防止下级监察机关可能存在的不当行为。

三、申诉内容与证据

1. 申诉内容：

   • 在申诉时，您需要明确指出留置存在的问题，例如留置不符合法定情形（如没有证据表明存在职务违法或犯罪等）、留置程序不合法（如审批手续不全等）等。
   • 您还可以提出对认罪认罚过程中可能存在的误解、不当诱导或程序瑕疵等问题的申诉。

2. 证据或证据线索：

   • 为了支持您的申诉主张，您需要提供相应的证据或者证据线索。
   • 这些证据可以是书面材料、录音录像、证人证言等，能够证明留置决定或认罪认罚过程中存在问题的证据。

四、注意事项

1. 保持冷静与理性：在申诉过程中，请保持冷静与理性，避免情绪化行为影响申诉效果。

2. 遵循法律程序：请严格按照法律程序进行申诉，不要采取非法手段或途径。

3. 寻求专业帮助：如果您对申诉过程或法律条款不熟悉，可以寻求专业律师或法律机构的帮助。

五、留置与判刑的关系

需要明确的是，留置不是判刑的一种形式。留置是监察机关对被调查人采取的一种调查措施，主要适用于涉嫌贪污贿赂、失职渎职等严重职务违法或者职务犯罪的被调查人。如果经过调查发现被调查人有职务犯罪行为，案件会移送检察机关审查起诉，最终由法院根据刑法等相关法律规定作出判决。

希望以上解答能够对您有所帮助。如果您还有其他问题或需要进一步的帮助，请随时告诉我。