结论：涉嫌行贿的普通人在留置立案期间认罪认罚，其处理方式会受到多种因素的影响，包括认罪认罚的时机、态度、案件的具体情况以及法律的规定等。以下是从不同角度对这一问题的详细分析。
一、认罪认罚的时机与态度
留置期间认罪认罚：
- 在留置期间，如果涉嫌行贿的普通人主动认罪认罚，这通常会被视为一种积极的认罪态度。根据《刑事诉讼法》及相关司法解释，犯罪嫌疑人、被告人自愿如实供述自己的罪行，承认指控的犯罪事实，愿意接受处罚的，可以依法从宽处理。
- 认罪认罚的时机越早，可能获得的从宽处理幅度越大。因为早期认罪认罚有助于节约司法资源，提高诉讼效率，同时也体现了犯罪嫌疑人的悔罪态度。
认罪认罚的态度：
- 认罪认罚的态度也是影响处理结果的重要因素。如果犯罪嫌疑人真诚悔罪，积极配合调查，如实供述自己的罪行，那么其获得从宽处理的可能性就会增加。
- 相反，如果犯罪嫌疑人虽然认罪，但态度不诚恳，或者存在隐瞒、谎报等行为，那么其获得从宽处理的幅度可能会受到限制。
二、案件的具体情况
行贿的数额与情节：
- 行贿的数额和情节是影响处理结果的关键因素。根据《刑法》的规定，行贿罪的刑罚幅度与行贿数额、情节严重程度密切相关。
- 如果行贿数额较大或者情节严重，那么即使犯罪嫌疑人在留置期间认罪认罚，也可能面临较重的刑罚。
是否存在其他犯罪行为：
- 如果涉嫌行贿的普通人还存在其他犯罪行为，如贪污、受贿等，那么其认罪认罚的处理结果也会受到影响。因为其他犯罪行为的存在可能会增加案件的复杂性，导致刑罚的加重。
三、法律的规定与程序
认罪认罚从宽制度：
- 根据《刑事诉讼法》的规定，认罪认罚从宽制度适用于所有刑事案件。这意味着，涉嫌行贿的普通人在留置期间认罪认罚，可以依法获得从宽处理。
- 从宽处理的具体幅度和方式，需要根据案件的具体情况、犯罪嫌疑人的认罪态度以及法律的规定来确定。
留置与逮捕、起诉的程序：
- 留置是监察机关对涉嫌职务犯罪的被调查人采取的强制措施。在留置期间，如果犯罪嫌疑人认罪认罚，监察机关会将其移送检察机关审查起诉。
- 检察机关在审查起诉阶段，会根据犯罪嫌疑人的认罪态度、案件的具体情况以及法律的规定，决定是否提起公诉以及提起公诉时的量刑建议。
四、建议与注意事项
及时咨询专业律师：
- 涉嫌行贿的普通人在留置期间，应及时咨询专业律师，了解自己的权利和义务，以及认罪认罚可能带来的法律后果。
- 律师可以根据案件的具体情况，为犯罪嫌疑人提供专业的法律建议，帮助其做出明智的决策。
保持诚恳的认罪态度：
- 在留置期间，犯罪嫌疑人应保持诚恳的认罪态度，积极配合调查，如实供述自己的罪行。这有助于获得从宽处理，减轻刑罚。
关注案件进展与法律程序：
- 犯罪嫌疑人应关注案件的进展和法律程序，了解自己的案件何时进入审查起诉阶段、何时开庭审理等。这有助于其及时准备辩护材料，维护自己的合法权益。
总结：涉嫌行贿的普通人在留置立案期间认罪认罚，其处理方式会受到多种因素的影响。为了获得最有利的处理结果，犯罪嫌疑人应及时咨询专业律师，保持诚恳的认罪态度，并关注案件的进展和法律程序。如果你有任何具体的法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。