结论：老师对学生犯罪的情况下，一般不能直接对教体局发检察建议，但特定情形下可通过检察机关间接影响教体局。以下从不同角度详细分析：

一、检察建议的发出主体与对象

1. 发出主体：检察建议是检察机关在履行法律监督职责过程中，针对发现的问题向有关单位或部门提出的改进建议。因此，只有检察机关才有权发出检察建议。
2. 对象范围：检察建议通常针对的是在执法、司法、管理等方面存在问题的单位或部门，如公安机关、法院、行政机关等。教体局作为教育行政管理部门，理论上可以成为检察建议的对象，但前提是检察机关在履行职责过程中发现了教体局在管理、监督等方面存在的问题。

二、老师对学生犯罪与检察建议的关系

1. 老师无权直接发检察建议：老师作为教育工作者，并非检察机关，因此无权直接向教体局发出检察建议。即使老师发现学生存在犯罪行为，也只能向公安机关报案，由公安机关依法处理。
2. 检察机关可介入：如果老师报案后，公安机关在处理过程中发现教体局在管理、监督等方面存在问题，如对学生犯罪行为未及时发现、未采取有效措施等，公安机关可以将相关情况通报给检察机关。检察机关在调查核实后，如果认为教体局确实存在需要改进的问题，可以依法向教体局发出检察建议。

三、特定情形下的间接影响

1. 通过检察机关提出建议：虽然老师不能直接发检察建议，但可以通过向检察机关反映情况，促使检察机关对教体局进行监督。如果检察机关认为有必要，可以依法向教体局发出检察建议，要求其改进管理、监督等方面的工作。
2. 参与社会治理：老师作为社会的一员，也可以积极参与社会治理，通过合法途径向教体局或相关部门提出改进建议。这些建议虽然不具有法律强制力，但可以作为教体局决策时的参考。

四、实际操作建议

1. 及时报案：如果老师发现学生存在犯罪行为，应第一时间向公安机关报案，确保犯罪行为得到及时处理。
2. 反映情况：在报案的同时，老师可以向检察机关反映教体局在管理、监督等方面可能存在的问题，为检察机关提供线索和依据。
3. 合法维权：如果老师认为教体局在处理学生犯罪行为过程中存在不当行为，可以通过合法途径维护自己的权益，如向相关部门投诉、申请行政复议或提起行政诉讼等。

总结：老师对学生犯罪的情况下，不能直接对教体局发检察建议。但老师可以通过向公安机关报案、向检察机关反映情况等方式，促使相关部门依法处理学生犯罪行为，并在必要时通过检察机关间接影响教体局。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。