您好，关于您提出的“通过官方邮箱发送的履行法定职责申请书是否有效”的问题，这主要取决于接收申请书的官方机构的具体规定以及相关法律法规的要求。
首先，从一般原则来看，只要申请书的内容完整、清晰，且符合相关法律法规对于申请形式的要求，那么通过官方邮箱发送的履行法定职责申请书在理论上是有效的。因为电子邮件作为一种电子通信方式，已经被广泛接受并应用于各种正式和非正式的场合。许多官方机构也提供了邮箱作为接收公众申请或投诉的渠道。
然而，要确定其具体有效性，还需要考虑以下几个方面：
接收机构的规定：
- 不同的官方机构可能有不同的规定，有些机构可能明确要求申请书必须以纸质形式提交，或者通过特定的在线系统提交。
- 因此，在提交前，最好先查阅相关机构的规定或指南，了解其对申请书形式的具体要求。
法律法规的要求：
- 某些法律法规可能对申请书的形式有特定要求，如必须加盖公章、必须手写签名等。
- 如果电子邮件无法满足这些特定要求，那么可能需要采用其他形式提交申请书。
证据留存与确认：
- 通过电子邮件提交申请书时，建议保留好发送和接收的记录，如邮件截图、发送时间、接收时间等，以备后续需要证明提交事实时使用。
- 如果可能的话，可以要求接收机构通过邮件或其他方式确认收到申请书，以确保申请书已被正确接收并处理。
实际案例参考：
- 从您提供的两个案例来看，虽然它们并未直接涉及电子邮件提交申请书的有效性问题，但可以看出官方机构在处理公众申请时，更注重的是申请书的内容是否完整、清晰，以及是否符合相关法律法规的要求。
- 如果电子邮件提交的申请书能够满足这些要求，并且接收机构没有明确反对，那么通常是可以被接受的。
综上所述，通过官方邮箱发送的履行法定职责申请书在理论上是有效的，但具体有效性还需根据接收机构的规定和法律法规的要求来确定。在提交前，建议您先查阅相关规定或指南，并保留好发送和接收的记录。如果接收机构对申请书形式有特定要求或疑问，您可以及时与其沟通并寻求指导。