结论：聚众斗殴被拘留37天是否会留下案底，取决于最终的司法判决结果。如果犯罪嫌疑人未被认定有罪，则不会留下案底；若被判决有罪，则会留下犯罪记录。

详细分析：

1. 刑事拘留的性质与目的：

   • 刑事拘留是刑事诉讼中的一种强制措施，旨在保证诉讼的顺利进行，防止犯罪嫌疑人逃避法律追究或继续实施犯罪行为。它本身并不等同于犯罪定罪，而是对犯罪嫌疑人的一种临时限制人身自由的措施。

2. 拘留37天的含义：

   • 在我国刑事诉讼程序中，对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，公安机关提请审查批准逮捕的时间可延长至30日，人民检察院应在接到提请后7日内作出决定，因此最长拘留期限可达37天。这并不意味着犯罪嫌疑人一定会被判刑，而是给了公安机关和人民检察院足够的时间来调查和审查案件。

3. 不会留下案底的情形：

   • 证据不足释放：若经过公安机关侦查和人民检察院审查后，认为现有证据不足以证明犯罪嫌疑人实施了聚众斗殴行为，未达到逮捕条件，犯罪嫌疑人将被释放。此时，由于未认定犯罪，因此不会留下案底。
   • 情节轻微不起诉：在审查起诉阶段，如果人民检察院认为犯罪嫌疑人的犯罪情节轻微，依照刑法规定不需要判处刑罚或可免除刑罚，可以作出不起诉决定。对于二次补充侦查后仍认为证据不足的案件，也应作出不起诉决定。在此情况下，犯罪嫌疑人同样不会留下案底。
   • 法院判决无罪：若案件进入审判阶段，经法院审理后最终判决被告人无罪，那么也不会留下案底。

4. 会留下案底的情形：

   • 如果犯罪嫌疑人在被刑事拘留37天后，被检察院批准逮捕，并经过法院审判被判决有罪，那么就会留下案底。案底即指某人过去犯罪行为的记录，这些记录会在公安机关、司法机关等部门留存，作为犯罪人员犯罪记录的一部分。

5. 聚众斗殴罪的构成与量刑：

   • 根据《中华人民共和国刑法》第二百九十二条，聚众斗殴的首要分子和其他积极参加者，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制；存在多次聚众斗殴、人数多规模大、社会影响恶劣、在公共场所或交通要道造成秩序混乱、持械聚众斗殴等情形，处三年以上十年以下有期徒刑。因此，如果犯罪嫌疑人被认定构成聚众斗殴罪，并根据情节被判刑，那么就会留下案底。

建议：

• 如果你或你身边的人因聚众斗殴被刑事拘留37天，不要惊慌失措。此时，最重要的是积极配合调查取证工作，如实陈述情况。
• 同时，建议尽快寻求专业律师的帮助，以便更好地了解案件进展和可能的结果，并维护自己的合法权益。
• 记住，刑事拘留本身并不等同于犯罪定罪，最终的判决结果才是决定是否会留下案底的关键因素。

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