要求行政机关履行法定职责是公民的基本权利，但需遵循法定程序，通过合理合法的方式维护自身权益。以下是从不同角度对这一问题的详细解答：
一、法律依据与行政机关职责的确定
行政机关的职责主要由宪法、法律、行政法规、地方性法规、自治条例、单行条例以及部门规章和地方政府规章等法律文件来规定。这些法律文件共同构成了行政机关职责的法律基础，确保了行政机关能够依法履行职责，维护社会秩序和公共利益。例如，宪法明确了国务院作为最高国家行政机关的职责，而《中华人民共和国食品安全法》则详细规定了食品药品监督管理部门在食品安全监管方面的具体工作内容。
二、要求行政机关履行法定职责的具体步骤
明确行政机关的法定职责：
- 在提出请求之前，务必查阅相关法律条文，确保你的请求属于该行政机关的法定职责范围。例如，若要求环保部门查处某工厂的污染行为，需确认环保部门确实具有此项职责。
向行政机关提出申请：
- 书面形式：以书面形式提出申请是最佳选择，因为它能为你提供清晰的证据。在申请书中，详细阐述你要求行政机关履行的具体职责事项，陈述相关事实和理由，并提供必要的证明材料。
- 明确收件信息：确保申请书准确送达有管辖权的行政机关，并获取送达凭证，如邮政快递的回执。同时，明确接收申请的部门和联系人，以便后续跟进。
等待行政机关处理：
- 处理期限：行政机关在收到申请后，通常有一定的法定期限来作出处理。不同事项和不同类型的行政机关，处理期限可能有所不同。如果法律有明确规定处理期限，行政机关必须在规定期限内完成处理。
- 跟进进度：在等待期间，你可以通过电话、书面询问等方式适当跟进申请的处理进度，但需注意方式方法，避免干扰行政机关的正常工作。
行政机关不作为或处理结果不满意时的应对措施：
- 行政复议：如果行政机关在规定期限内未履行职责，或处理结果不符合你的要求，你可向上一级行政机关或同级人民政府申请行政复议。在复议申请中，详细说明行政机关未履行职责或处理不当的情况，并阐述你的诉求和理由。
- 行政诉讼：若行政复议未能解决问题，你可向有管辖权的人民法院提起行政诉讼。在诉讼过程中，需提供充分证据证明行政机关有法定职责未履行，以及你的合法权益因此受到了损害。法院将根据事实和法律规定对行政机关的行为进行审查，并作出相应判决。
三、注意事项与法律建议
保持冷静与理性：
- 在整个过程中，保持冷静和理性至关重要。与行政机关沟通时，要尊重对方，同时也要坚持自己的合法权益。避免采取过激行为或言语攻击，以免影响问题的解决。
寻求专业帮助：
- 如果你感到自己无法有效处理这个问题，或者对法律程序不熟悉，可以向我咨询。作为专业律师，我能提供专业的法律建议和指导，帮助你更有效地维护自己的权益。
遵守法律法规：
- 要求行政机关履行法定职责是公民的基本权利，但在行使这项权利时，我们也需遵守法律法规，尊重行政机关的权威和程序规定。不得采取非法手段或干扰行政机关的正常工作秩序。
保留证据：
- 在整个过程中，务必保留好所有相关证据，包括申请书、送达凭证、跟进记录、行政机关的处理结果等。这些证据将在后续的行政复议或行政诉讼中发挥重要作用。
综上所述，要求行政机关履行法定职责需要遵循法定程序，通过合理合法的方式维护自身权益。如果你在这个过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。