行政机关履行职责的规定主要涵盖法律依据、职责范围、履行方式、程序要求以及监督与责任等多个方面。以下是对这些规定的详细解释：

一、法律依据

行政机关的职责首先由宪法确立，宪法作为国家的根本大法，为行政机关的组织架构、基本职责和权力来源提供了原则性的框架。例如，我国宪法明确规定国务院作为最高国家行政机关，有权根据宪法和法律制定行政法规、发布决定和命令。此外，法律（包括组织法和其他相关法律）、行政法规、地方性法规、自治条例、单行条例以及部门规章和地方政府规章等，也进一步细化和明确了行政机关在特定领域或某类事务中的具体职责。

二、职责范围

行政机关的职责范围清晰明确，必须依据法律和法规的规定来行使职权。这些职责包括但不限于：

1. 行政立法：特定行政机关有权制定行政法规、规章等规范性文件，为特定行业或领域提供法规依据。
2. 行政许可：审查公民、法人或其他组织的申请，并准予其从事特定活动，如颁发营业执照、医疗机构执业许可证等。
3. 行政确认：对相对人的法律地位、法律关系和法律事实进行甄别、确定、认可、证明并宣告，如身份确认、事实确认、法律关系确认等。
4. 行政检查：监督检查相对人遵守法律法规、执行行政命令等情况，如税务机关检查企业纳税情况。
5. 行政处罚：对违反行政管理秩序但尚未构成犯罪的公民、法人或其他组织给予制裁，如警告、罚款、没收违法所得等。
6. 行政强制：为实现行政目的而采取强制性措施，包括行政强制措施和行政强制执行。
7. 行政征收：为公共利益需要而强制取得相对人财产所有权，如税收征收和行政收费。
8. 行政给付：在公民年老、疾病或丧失劳动能力等情况下，依照法律法规赋予其一定物质权益，如发放生活救助金、救灾物资等。

三、履行方式

行政机关在履行职责时，必须积极作为，不得推诿、懈怠。对于法律和法规赋予的职责，行政机关应认真履行，及时回应和处理公民、法人或其他组织的申请、诉求和问题。同时，行政机关还应致力于提供高效、便捷的服务，满足人民需求，如推行“一站式”服务等优化措施。

四、程序要求

行政机关在履行职责时，必须遵循法定的程序，包括公开、公正、公平的原则，确保行政决策的透明度。具体来说：

1. 程序合法：行政机关在作出行政决策、实施行政许可、进行行政处罚等行政行为时，必须遵循法定的步骤、顺序、方式和时限。
2. 信息公开：除涉及保密信息外，行政机关应通过政府网站等多种渠道及时、准确地公开政务信息，保障公民的知情权。
3. 公众参与：在制定重大行政决策时，应广泛征求社会公众意见，通过听证会等方式让公众参与决策过程。

五、监督与责任

行政机关在履行职责时，必须接受来自内部和外部的监督制约，包括自我约束、上级监督、立法监督、司法监督和社会舆论监督等。对于行政机关的违法行为或不当行政行为给公民、法人或其他组织造成的损失，应当依法承担赔偿责任。同时，行政机关制定的政策应保持相对稳定性和连续性，避免频繁变动给行政相对人造成不必要的损失和困扰。

举例说明：假设某市场监管部门在履行职责时，发现一家企业存在违法行为。根据法律规定，该部门应首先进行调查取证，确认违法事实后，依法作出行政处罚决定，如罚款、没收违法所得等。在作出处罚决定前，该部门应告知企业有权进行陈述和申辩，并充分听取企业的意见。处罚决定作出后，该部门还应及时公开处罚信息，接受社会监督。如果企业认为处罚决定违法或不当，可以依法申请行政复议或提起行政诉讼。

综上所述，行政机关在履行职责时，必须严格遵循法律框架，明确法定职责，保障人民权益，遵循行政程序，接受监督制约，并承担相应的行政责任。如果您在行政机关履行职责方面遇到任何问题或困惑，可以直接向我咨询。