车辆违规停车被开罚单的管理部门，主要依据停车地点和具体情况的不同而有所区别，但主要由公安机关交通管理部门（交警）负责。以下是对此问题的详细解答：
一、公安机关交通管理部门（交警）
主要管辖范围：
- 交警主要负责城市道路（包括主干道、次干道等）及高速公路上的机动车违停行为管理。
法律依据：
- 根据《中华人民共和国道路交通安全法》第五十六条和第九十三条，机动车应在规定地点停放，禁止违规停放。对违反规定的，交警可指出违法行为，给予口头警告，并令其立即驶离；若驾驶人不在现场或拒绝驶离，可处以二十元以上二百元以下罚款，并将车辆拖移至不妨碍交通的地点。
执法方式：
- 交警可采取现场处罚或非现场处罚方式。现场处罚时直接开具罚单；非现场处罚则通过监控设备抓拍，随后向车主发送违法通知。
投诉举报：
- 市民若发现违停行为，可拨打110或122向交警举报，交警将根据情况处理。
二、城市管理部门（城管）
主要管辖范围：
- 城管主要负责城市人行道、背街小巷等非市政道路上的机动车和非机动车违停行为管理。同时，也负责对在城市道路上违法设置障碍物、乱堆乱放等影响交通秩序和市容环境的行为进行整治。
法律依据：
- 其执法依据主要为《城市市容和环境卫生管理条例》等相关法规。
执法方式：
- 城管对违停行为主要以罚款为主，通过开具行政处罚决定书要求违停当事人在规定期限内缴纳罚款。
三、其他相关部门
物业或管理方：
- 在小区、商场等私有或管理性质的公共场所，违章停车一般由物业或管理方负责。他们可采取合理合法手段进行管理，但不能使用强制性、违法手段。市民可向物业或管理方投诉请求纠正违规停放行为。
企业和单位的后勤保卫处：
- 对于公司企业、机关单位所属的停车区域，乱停乱放行为可向企业和单位的后勤保卫处举报，由工作负责人帮忙纠正。
多部门协同：
- 在某些情况下，如使用物品占用公共停车位等私自占用公共资源行为，可能需要向城管执法部门举报，并由多个部门协同处理。
总结：车辆违停的管理是一个涉及多个部门、多种情况的复杂问题。在实际操作中，应根据具体停车地点和情况来确定管理部门。如果是在城市道路或高速公路上违停，通常由交警负责处理；如果是在人行道或背街小巷等非市政道路上违停，则可能由城管负责处理。同时，市民也应积极参与监督，共同维护良好的交通秩序和城市环境。