背街小巷机动车乱停乱放的管理责任，主要归属于当地的交通管理部门或城市管理部门，具体取决于当地的行政管理体制和规定。以下是从不同角度进行的详细分析：
交通管理部门：
- 在许多地区，交通管理部门（如交警部门）是负责道路交通秩序管理的主要机构。他们负责制定和执行交通规则，包括停车规定，并对违规停车行为进行处罚。
- 如果背街小巷被认定为道路的一部分，且该道路属于交通管理部门的管辖范围，那么机动车乱停乱放的行为就应由交通管理部门负责管理。
城市管理部门：
- 在一些城市或地区，城市管理部门（如城管部门）也承担着一定的道路管理职责，特别是当涉及到城市环境、市容市貌等方面时。
- 如果背街小巷的停车问题更多地与城市环境、市容市貌相关，或者该道路不属于交通管理部门的直接管辖范围，那么城市管理部门可能会成为主要的管理机构。
特殊情况：
- 在某些情况下，背街小巷可能属于特定社区、小区或单位的内部道路。在这种情况下，机动车乱停乱放的管理责任可能由该社区、小区或单位的物业管理机构承担。
- 另外，如果背街小巷的停车问题涉及到多个部门或机构的职责交叉，那么可能需要多个部门或机构协同管理。
法律建议：
- 如果您发现背街小巷存在机动车乱停乱放的问题，首先可以尝试联系当地的交通管理部门或城市管理部门，了解该道路的管理责任归属，并报告违规停车行为。
- 如果问题得不到解决，您可以考虑向当地的政府热线或市民服务热线反映情况，寻求更进一步的帮助。
- 在处理此类问题时，请确保您的行为合法合规，不要采取过激或违法的手段来解决问题。
可能后果：
- 如果机动车乱停乱放行为被认定为违规，车主可能会面临罚款、扣分等处罚。
- 如果违规停车行为严重影响了道路通行或城市环境，相关部门可能会采取拖车等强制措施来恢复道路秩序。
如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供更详细的法律建议。