结论概述：病人住院后私自出院后死亡，是否可获得赔偿需根据具体情况判断，主要涉及医院是否存在过错以及过错与死亡结果之间的因果关系。以下从不同角度进行分析。
一、医院责任角度
医院告知义务：
- 医院在病人住院期间，有义务向病人及其家属充分告知病情、治疗方案、可能的风险及出院后的注意事项等。
- 如果医院未履行充分的告知义务，导致病人或其家属对病情或出院风险存在误解，从而做出私自出院的决定，医院可能需承担一定的责任。
医院管理责任：
- 医院有责任确保病人的安全，包括在住院期间和出院时的管理。
- 如果医院在病人私自出院时未采取必要的阻止措施或未及时通知家属，且这种疏忽与病人的死亡存在因果关系，医院可能需承担相应的赔偿责任。
医疗过错认定：
- 若要确定医院是否存在过错，通常需要进行医疗过错鉴定。
- 鉴定机构会综合考虑医院的诊疗行为、病人的病情、出院时的状况以及死亡原因等因素，来判断医院是否存在过错以及过错的程度。
二、病人及家属责任角度
病人自主决定权：
- 病人作为具有完全民事行为能力的个体，有权自主决定自己的医疗行为，包括是否继续住院治疗。
- 如果病人明知出院可能存在的风险，仍坚持出院，且这种决定与死亡结果无直接因果关系（如死亡是由于疾病本身的发展或其他不可抗力因素导致），则医院可能不承担赔偿责任。
家属监护责任：
- 如果病人因年龄、精神状况等原因无法自主决定，家属作为监护人应承担相应的监护责任。
- 家属未尽到监护职责，导致病人私自出院并发生死亡后果的，家属可能需要承担一定的责任。
三、法律后果及赔偿
赔偿条件：
- 若医院存在过错，且过错与病人的死亡存在因果关系，医院应承担相应的赔偿责任。
- 赔偿范围通常包括医疗费、丧葬费、死亡赔偿金等，具体数额需根据案件实际情况和法律规定进行计算。
赔偿计算（以死亡赔偿金为例）：
- 死亡赔偿金通常按照受诉法院所在地上一年度城镇居民人均可支配收入或者农村居民人均纯收入标准，按二十年计算。但六十周岁以上的，年龄每增加一岁减少一年；七十五周岁以上的，按五年计算。
- 计算公式为：死亡赔偿金 = 受诉法院所在地上一年度城镇居民人均可支配收入（或农村居民人均纯收入）× 赔偿年限。
诉讼流程：
- 若家属认为医院存在过错并要求赔偿，应首先与医院协商解决；协商不成的，可以向人民法院提起诉讼。
- 诉讼过程中，需要提供充分的证据证明医院存在过错以及过错与死亡之间的因果关系。
建议：在处理此类案件时，建议家属及时收集相关证据，如医疗记录、证人证言等，并咨询专业律师以获取更具体的法律建议。同时，也应理性看待医院与病人之间的关系，避免过度追究医院责任而忽视病人自身的责任。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。