结论：私家车在拉病人紧急就医的过程中闯红灯，若能提供充分证据证明行为的合理性，可依法向交警部门申诉并提供相关证据，一般可撤销相应违章处罚；若无法提供充分证据，则需接受相应的法律处罚。以下是对此问题的详细分析：
一、能提供充分证据的情况
证据类型：
- 医院相关证明：包括急诊病历、诊断证明等，需详细记录患者的就诊时间、病情等信息，以证明送医的紧迫性。
- 行车记录仪视频：清晰记录送医过程、患者的紧急状态及闯红灯的具体经过，这是证明紧急情况的关键证据。
- 病人及其家属的证言：进一步说明当时情况的紧急性，增强证据的可信度。
申诉流程：
- 在收到闯红灯处罚通知后，携带准备好的材料前往当地交警大队或相关处理窗口。
- 向交警部门清晰、诚实地陈述送医的紧急情况、行驶路线、时间等细节，并提出申诉。
交警部门审核：
- 交警部门会对提交的材料进行审核，可能包括查看事发路段的监控视频、核实医院就诊记录等。
- 若认定私家车闯红灯是为了紧急救助病人且情况属实，一般会依法撤销相应的违章处罚。
二、法律依据
- 根据《道路交通安全违法行为处理程序规定》第二十二条，交通技术监控设备记录或者录入道路交通违法信息管理系统的违法行为信息，有下列情形之一并经核实的，违法行为发生地或者机动车登记地公安机关交通管理部门应当自核实之日起三日内予以消除：……（三）违法行为人或者机动车所有人、管理人提供证据证明机动车因救助危难或者紧急避险造成的违法行为。
三、无法提供充分证据的情况
- 若无法提供充分证据证明闯红灯是为了紧急送病人就医，将依据《中华人民共和国道路交通安全法》的相关规定进行处理，通常是对机动车驾驶人处以警告或二十元以上二百元以下的罚款。
四、注意事项与建议
- 行车安全：尽管在紧急情况下可能需要违反交通规则，但驾驶人仍需尽可能确保行车安全，避免对其他交通参与者造成危险。
- 及时联系：在闯红灯或超速后，务必尽快与交通管理部门联系，并提供相关证明以解释情况。
- 保留证据：务必保留好所有与送病人去医院相关的证据，以备后续申请消除交通违法记录时使用。
- 了解当地政策：不同地区的交通管理政策和具体操作流程可能会有所差异，建议提前了解并遵循当地的相关规定。
五、法律救济途径
- 若对交警部门的处理结果有异议，可在规定时间内向上一级公安机关交通管理部门申请行政复议，或向当地人民法院提起行政诉讼。
综上所述，私家车在拉病人紧急就医的过程中闯红灯，其处理结果取决于是否能提供充分的证据来证明行为的合理性。因此，驾驶员在面临此类情况时，应尽可能收集并保留相关证据，同时遵守交通规则并确保行车安全。若无法提供证据，则需接受相应的法律处罚。在处理过程中，了解并遵循当地的交通管理政策也是至关重要的。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。