不在道路和绿化带上停车，其管辖权及是否归交警管的问题，可以明确以下几点：

1. 交警的管辖权范围：

   • 交警主要负责道路交通安全的管理，其管辖范围不仅限于典型的通行道路，还包括公路、城市道路以及虽在单位管辖范围但允许社会机动车通行的地方，如广场、公共停车场等用于公众通行的场所。
   • 绿化带虽然不属于典型意义的通行道路，但若车辆违规停放于此，影响了交通秩序、城市容貌或存在安全隐患，交警同样有权进行管理和处置。这是因为绿化带作为城市公共空间的一部分，其秩序和安全也受到交通法规的约束。

2. 绿化带停车的法律后果：

   • 根据《中华人民共和国道路交通安全法》及相关实施条例，机动车应当在规定地点停放，禁止在人行道上停放机动车（施划的停车泊位除外），且在道路上临时停车不得妨碍其他车辆和行人通行。绿化带并非规定的停车地点，因此在此停车属于违法行为。
   • 对于违反规定在绿化带上停车的行为，交警部门有权依据相关法律法规进行处罚，包括但不限于罚款、拖车等。具体处罚措施可能因地区而异，但通常都会涉及罚款，罚款金额一般在20元以上200元以下。

3. 其他部门的协同管理：

   • 在某些情况下，除了交警部门外，城市管理综合执法部门等也可能对绿化带内的违章行为有管辖权，特别是当这些行为影响到城市环境秩序时。这些部门可能会与交警部门建立联动机制，共同打击绿化带内的违章停车等行为。

4. 驾驶人的责任与建议：

   • 驾驶人在停车时应严格遵守相关规定，选择合法的停车地点，避免将车辆停放在绿化带等禁止停车的区域。这不仅是遵守法律的要求，也是维护公共秩序和交通安全的责任。
   • 如因违规停车而受到交警的处罚，驾驶人应依法接受处理，并及时纠正违法行为。同时，也可以积极了解和学习相关交通法规，提高自己的法律意识和安全意识。

总结来说，不在道路和绿化带上停车是驾驶人的基本责任和义务。若车辆违规停放在绿化带上，交警部门有权进行管理和处置，并依据相关法律法规进行处罚。因此，建议驾驶人在停车时务必遵守相关规定，选择合法的停车区域，以维护良好的交通秩序和城市环境。如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。