结论：公司申请劳动仲裁并不需要先开除员工，二者之间没有必然的先后顺序或因果关系。以下从不同角度为你详细分析：

从劳动仲裁的申请条件来看

劳动仲裁是解决劳动争议的一种法定方式，当公司与员工之间就劳动报酬、工作时间、休息休假、社会保险、福利、培训以及劳动保护等事项发生争议时，公司或员工都可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。只要符合《劳动争议调解仲裁法》规定的受理范围，即存在劳动争议这一前提条件，公司就可以直接申请劳动仲裁，无需以开除员工为前置程序。例如，公司认为员工存在严重违反公司规章制度的行为，但员工对此予以否认，双方就员工是否违规以及公司是否有权解除劳动合同等问题产生争议，此时公司可以直接申请劳动仲裁，请求仲裁委确认员工的违规行为以及公司解除劳动合同的合法性。

从开除员工的法律程序来看

开除员工是公司对员工作出的一种严厉的纪律处分，需要遵循严格的法律程序。如果公司没有合法依据或未按照法定程序开除员工，可能构成违法解除劳动合同，需要承担相应的法律责任，如支付赔偿金等。而劳动仲裁是解决公司与员工之间劳动争议的途径，公司可以在仲裁过程中主张其开除员工的合法性和合理性，但并不意味着必须先开除员工才能申请仲裁。例如，公司发现员工有贪污受贿等严重违纪行为，但尚未作出开除决定，此时公司可以先收集相关证据，然后向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，请求确认员工的违纪行为以及公司有权解除劳动合同，待仲裁裁决支持公司的主张后，公司再依据裁决结果开除员工。

从实际操作和策略的角度考虑

在某些情况下，公司可能会选择先与员工进行协商或沟通，尝试通过内部调解的方式解决争议，避免直接申请劳动仲裁或开除员工。如果协商无果，公司再根据具体情况决定是申请劳动仲裁还是直接开除员工。例如，员工因个人原因提出离职，但与公司就经济补偿等问题存在分歧，公司可以先与员工进行协商，如果协商不成，公司可以申请劳动仲裁，请求仲裁委裁决经济补偿的数额；如果员工存在严重违反公司规章制度的行为，公司经过调查核实后，认为有必要开除员工，也可以在开除员工的同时或之后申请劳动仲裁，以确认开除行为的合法性。

建议：公司在处理与员工的劳动争议时，应谨慎行事，遵循法律程序，充分收集和保留相关证据。如果对劳动仲裁或开除员工的法律程序和风险有疑问，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供详细的法律建议和解决方案。