结论：老人处理自己的遗产，给儿女是情分，不给儿女是本分，这确实是法律赋予老人的权利。老人有权根据自己的意愿自由处分自己的遗产，包括决定是否将遗产留给儿女。

详细解释：

1. 法律赋予的权利：

   • 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，老人作为遗产的所有者，享有对其遗产的完全处分权。这意味着老人可以自由决定将遗产留给谁，包括儿女，也可以选择不留给儿女，而是赠与其他人或机构。
   • 老人处分遗产的方式多种多样，可以通过遗嘱、遗赠扶养协议等方式进行。如果老人没有留下遗嘱或遗赠扶养协议，那么遗产将按照法定继承顺序进行分配。

2. 给儿女是情分：

   • 如果老人选择将遗产留给儿女，这通常是出于对儿女的关爱和照顾，是老人对儿女的一种情感表达和物质支持。这种行为体现了家庭成员之间的亲情和互助精神。

3. 不给儿女是本分：

   • 老人不给儿女遗产，并不意味着老人对儿女没有尽到责任或义务。老人已经通过抚养、教育等方式对儿女进行了关爱和照顾，这是老人作为父母的本分。
   • 老人处分自己的遗产是其个人权利，儿女应该尊重老人的意愿，不得干涉或强迫老人处分遗产。如果儿女对老人的遗产处分有异议，可以通过合法途径解决，但不得侵犯老人的合法权益。

4. 法律后果与建议：

   • 如果老人通过遗嘱或遗赠扶养协议等方式处分了遗产，那么相关继承人或受遗赠人应该按照遗嘱或协议的内容接受遗产。
   • 如果儿女对老人的遗产处分有争议，可以寻求法律帮助，通过诉讼等方式解决争议。但在此过程中，应该尊重老人的意愿和合法权益，不得采取过激行为或侵犯老人的权益。
   • 我建议儿女在老人健在时多关心、照顾老人，增进家庭成员之间的感情。这样，即使老人没有留下遗产，儿女也能从老人那里获得更多的关爱和支持。同时，如果老人有处分遗产的意愿，儿女也应该尊重并协助老人完成相关手续。

总结：老人处理自己的遗产是其个人权利，给儿女是情分，不给儿女是本分。儿女应该尊重老人的意愿和合法权益，不得干涉或强迫老人处分遗产。如果儿女对老人的遗产处分有争议，可以通过合法途径解决。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。