结论前置：在遗嘱继承中，若遗嘱存在无效情形或遗嘱内容未将财产分配给私生子，私生子则不可继承被继承人的财产。以下从遗嘱无效情形和遗嘱内容未涉及私生子两个角度进行详细分析。

1. 遗嘱无效情形

   • 遗嘱形式不合法：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，遗嘱有多种形式，包括自书遗嘱、代书遗嘱、录音遗嘱、口头遗嘱、公证遗嘱等。若遗嘱的形式不符合法律规定，如自书遗嘱未签名、代书遗嘱未有两个以上见证人在场见证等，则遗嘱无效。在此情况下，私生子无法依据无效的遗嘱继承财产。
   • 遗嘱内容违法：若遗嘱内容违反法律、行政法规的强制性规定，或者违背公序良俗，如遗嘱中要求私生子从事违法活动作为继承条件，则遗嘱无效。私生子同样无法依据此类无效遗嘱继承财产。
   • 遗嘱人无民事行为能力或限制民事行为能力：若遗嘱人在立遗嘱时无民事行为能力或限制民事行为能力，如因疾病、年老等原因无法辨认或控制自己的行为，则遗嘱无效。在此情况下，私生子也无法继承财产。
   • 遗嘱被篡改或伪造：若遗嘱被篡改或伪造，导致遗嘱内容不是遗嘱人的真实意思表示，则遗嘱无效。私生子无法依据被篡改或伪造的遗嘱继承财产。

2. 遗嘱内容未涉及私生子

   • 遗嘱未提及私生子：若遗嘱人在遗嘱中未明确提及私生子，也未将财产分配给私生子，则私生子无法依据该遗嘱继承财产。因为遗嘱继承具有特定性，遗嘱人只能处分其个人所有的财产，并且只能按照遗嘱的内容进行继承。
   • 遗嘱将财产分配给其他继承人：若遗嘱人在遗嘱中将财产分配给了其他继承人，如配偶、子女、父母等，而未将财产分配给私生子，则私生子同样无法继承财产。在此情况下，私生子只能依据法定继承的规定，在遗嘱继承人继承遗产后，与其他法定继承人共同分配剩余的遗产（如果有的话）。但需要注意的是，法定继承中私生子的继承权与其他子女是平等的。

法律建议：

• 对于遗嘱人而言，在立遗嘱时应确保遗嘱的形式和内容合法有效，明确表达自己的真实意愿，并考虑所有可能的继承人，包括私生子。
• 对于私生子而言，如果怀疑遗嘱的合法性或有效性，或者认为遗嘱未充分考虑自己的继承权，可以寻求法律帮助，通过法律途径维护自己的合法权益。

可能法律后果：

• 若遗嘱无效或遗嘱内容未涉及私生子，私生子可能无法继承被继承人的财产，或者只能继承较少的财产份额。
• 若私生子认为自己的继承权受到侵害，可以通过法律途径提起诉讼，要求确认遗嘱无效或重新分配遗产。但诉讼过程可能复杂且耗时较长，需要做好充分的准备。