私生子在立遗嘱的情况下是享有继承权的。以下从多个角度为你详细分析：

法律背景与规定

根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，非婚生子女（即私生子）与婚生子女享有同等的法律地位，这意味着他们在继承权方面也享有平等的权利。具体来说，如果被继承人在遗嘱中明确指定了私生子作为继承人，那么私生子就有权按照遗嘱的内容继承相应的财产。

遗嘱的效力

遗嘱是被继承人对其财产进行处分的一种法律行为，只要遗嘱符合法律规定的要件（如遗嘱人具有完全民事行为能力、遗嘱内容合法、遗嘱形式符合法律规定等），就具有法律效力。因此，如果被继承人在遗嘱中明确表示将部分或全部财产留给私生子，那么这一遗嘱就是有效的，私生子有权依据遗嘱继承财产。

实际操作中的注意事项

1. 遗嘱的明确性：遗嘱中必须明确指定私生子作为继承人，并清晰描述继承的财产范围、继承方式等关键信息。如果遗嘱内容模糊或存在歧义，可能会导致继承过程中的纠纷和争议。

2. 遗嘱的公证：虽然公证不是遗嘱生效的必要条件，但公证可以增强遗嘱的证明力，减少继承过程中的纠纷。因此，如果条件允许，建议对遗嘱进行公证。

3. 其他继承人的权益：在立遗嘱时，被继承人也需要考虑其他继承人的权益。如果遗嘱中只指定了私生子作为继承人，而忽略了其他婚生子女或其他法定继承人，可能会引发家庭矛盾和法律纠纷。因此，在立遗嘱时，建议被继承人综合考虑各方利益，做出公平合理的安排。

可能的法律后果

如果被继承人立下了有效的遗嘱，并明确指定了私生子作为继承人，那么私生子就有权按照遗嘱继承相应的财产。如果其他继承人对此提出异议或拒绝履行遗嘱，私生子可以通过法律途径维护自己的继承权，如向法院提起诉讼等。

建议：如果你或你身边的人遇到了涉及私生子继承权的问题，建议及时咨询专业律师，了解具体的法律程序和操作要点。同时，在立遗嘱时，也建议咨询律师的意见，确保遗嘱的合法性和有效性。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。