结论前置：长时间拖欠农民工工资，若符合拒不支付劳动报酬罪的构成要件，是可以向公安机关报案并要求立案的；若仅属于一般的劳动纠纷，则通常需先通过劳动行政部门或劳动仲裁委员会处理。
一、符合拒不支付劳动报酬罪的情况
当拖欠农民工工资的行为构成拒不支付劳动报酬罪时，公安机关将介入立案侦查。根据《中华人民共和国刑法》第二百七十六条之一的规定，以下行为构成该罪：
行为方式：
- 通过转移财产、逃匿等方法逃避支付劳动者的劳动报酬。
- 有能力支付而不支付劳动者的劳动报酬。
数额较大：
- 具体标准因地区而异，但通常指拒不支付一名劳动者三个月以上的劳动报酬且数额在五千元至二万元以上，或拒不支付十名以上劳动者的劳动报酬且数额累计在三万元至十万元以上。
经政府有关部门责令支付仍不支付：
- 政府有关部门（如人力资源社会保障部门）已下达责令支付文书，用人单位在规定期限内仍未支付。
报案与立案流程：
- 农民工应准备身份证明、劳动关系证明（如劳动合同、工资条、考勤记录等）、政府部门责令支付的相关材料等，向公安机关报案。
- 公安机关接收报案后，会进行登记并向报案人出具受案回执。
- 公安机关对报案材料进行详细审查，核实是否符合拒不支付劳动报酬罪的立案条件。
- 若认为有犯罪事实需要追究刑事责任且属于自己管辖，则制作《立案决定书》予以立案；若不符合立案条件，则不予立案，并制作《不予立案通知书》送达控告人。
二、仅属于一般劳动纠纷的情况
若拖欠农民工工资的行为仅构成一般的劳动纠纷，未达到刑事立案的标准，则通常需先通过劳动行政部门或劳动仲裁委员会处理。
处理流程：
向劳动行政部门投诉：
- 农民工可以向当地劳动保障监察部门投诉用人单位的违法行为。
- 劳动保障监察部门会进行调查，并可能下达责令支付文书。
申请劳动仲裁：
- 若劳动行政部门处理无果，或农民工希望直接通过法律途径解决，可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
- 仲裁委员会会在收到仲裁申请后的五日内进行立案处理（若属于劳动争议范畴）。
- 仲裁过程中，双方需提交证据，仲裁委员会将根据事实和法律作出裁决。
提起诉讼：
- 若对仲裁结果不满意，农民工可以在收到仲裁裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼。
- 法院会在七日内决定是否立案，并通知当事人。
三、法律建议与注意事项
准备充分证据：
- 农民工在报案或申请仲裁、提起诉讼前，应尽可能收集并保存好与劳动关系及工资拖欠相关的证据，如劳动合同、工资条、考勤记录、工作证、欠条等。
了解法律程序：
- 农民工应了解相关法律程序和要求，以便在维权过程中能够积极配合相关部门的工作，提高维权效率。
寻求法律援助：
- 若农民工在维权过程中遇到困难或需要专业法律人士的支持，可以寻求法律援助机构的帮助。
及时行动：
- 拖欠工资问题应及时解决，避免拖延过久导致证据丢失或法律程序上的不利。
作为杜沛均律师，我擅长处理劳动纠纷和离婚领域的问题。如果您在劳动纠纷方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。