申请执行人死亡后，其子女可以继承执行权益，但需通过法定程序变更申请执行人。具体分析如下：

1. 继承的法律依据
   根据《民法典》第1122条，遗产是自然人死亡时遗留的个人合法财产，包括财产性权利。申请执行人享有的债权（如要求被执行人履行债务的权利）属于财产性权利，可依法继承。因此，子女作为法定继承人，有权继承该执行权益。

2. 执行程序的变更要求
   继承发生后，执行程序不会自动终止或转移。根据《民事诉讼法》第267条及司法解释，继承人需向法院提交继承权证明（如公证书、生效法律文书）及变更申请执行人的申请，法院审查后裁定变更。未变更前，原申请执行人的法律地位仍存续，但实际权利由继承人行使。

3. 特殊情形处理

   • 多继承人共有时：若存在多个继承人，需共同申请变更或协商确定代表人；
     
   • 放弃继承情形：部分继承人放弃继承的，需提交书面声明，不影响其他继承人权利；
     
   • 执行标的性质：若执行标的为特定物（如房产），继承人需协商分割或共同共有，无法分割的可能涉及拍卖变价。

建议行动步骤：

1. 收集被继承人死亡证明、亲属关系证明（如户口本、出生证）；
   
2. 办理继承权公证或通过诉讼确认继承份额；
   
3. 向执行法院提交变更申请执行人申请书及证明材料；
   
4. 跟进法院审查进度，参与后续执行程序（如财产处置、和解谈判）。
   

若涉及复杂继承关系或执行障碍，可进一步提供细节，我将结合具体案情分析风险点及应对策略。