结论概述：结合新闻背景，违规吃喝致1人死亡后私下补偿死者家属的行为，从法律层面分析，其合法性需分情况讨论。若补偿行为基于双方自愿且未违反法律强制性规定，则可能合法；但若涉及隐瞒真相、逃避法律责任或存在其他违法行为，则可能不合法。以下从多个维度进行详细分析：
一、补偿行为的法律性质
民事补偿与赔偿的区别：
- 民事补偿：通常指基于道德、公平或自愿原则，对受害方进行的经济或物质上的帮助，不涉及法律责任的承担。
- 民事赔偿：则是指因违法行为或违约行为导致他人损害，依法应承担的经济赔偿责任。
本案中的补偿行为：
- 根据新闻背景，李献林等人试图通过私下补偿死者家属来隐瞒真相，避免被调查。这种补偿行为可能并非纯粹基于道德或公平原则，而是带有逃避法律责任的目的。
- 若补偿行为被认定为赔偿，则需考虑是否存在违法行为或违约行为，以及这些行为与死亡结果之间的因果关系。
二、补偿行为的合法性分析
自愿原则：
- 若补偿行为是双方自愿达成的，且未违反法律强制性规定，如未强迫、欺诈或胁迫等，则可能具有合法性。
- 但在本案中，由于存在隐瞒真相、逃避法律责任的动机，补偿行为的自愿性可能受到质疑。
法律强制性规定：
- 根据《中华人民共和国刑法》及相关司法解释，若违规吃喝行为构成犯罪（如过失致人死亡罪），则相关责任人需承担刑事责任。
- 私下补偿行为若被认定为试图逃避刑事责任，则可能构成妨碍司法公正等违法行为。
- 此外，若补偿资金来源不合法（如李献林向管理服务对象借用巨款），则可能涉及贪污、受贿等犯罪行为。
社会公共利益：
- 违规吃喝行为不仅违反了中央八项规定精神，还损害了社会公共利益和公职人员形象。
- 私下补偿行为若被纵容，可能助长不良风气，对社会公共利益造成进一步损害。
三、可能涉及的法律责任
刑事责任：
- 若违规吃喝行为构成犯罪，相关责任人需承担刑事责任，如过失致人死亡罪等。
- 私下补偿行为若被认定为妨碍司法公正等违法行为，也可能承担刑事责任。
行政责任：
- 违规吃喝行为可能违反了相关行政法规或单位规章制度，相关责任人可能面临行政处分或纪律处分。
民事责任：
- 若死亡结果与违规吃喝行为存在因果关系，相关责任人可能需承担民事赔偿责任。
- 但私下补偿行为本身并不直接构成民事赔偿的依据，除非被法院认定为赔偿协议的一部分。
四、对公众的启示
遵守法律法规：
- 公职人员应严格遵守中央八项规定精神及相关法律法规，杜绝违规吃喝等违法行为。
诚实守信：
- 在处理类似事件时，应诚实守信、勇于承担责任，而不是试图通过私下补偿等方式逃避法律责任。
维护社会公共利益：
- 公众应积极监督公职人员行为，维护社会公共利益和公职人员形象。
针对本案的具体建议：
- 对于死者家属而言，应依法维护自身权益，通过合法途径寻求赔偿或补偿。
- 对于相关责任人而言，应主动配合调查、承担责任，并接受相应的法律制裁和纪律处分。
- 对于社会公众而言，应从中吸取教训，增强法律意识和社会责任感。
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