结论：信用卡欠款5000元逾期10年后，银行忽然通知进入起诉流程，这是有可能的。以下从多个角度为你详细分析：
一、法律角度
诉讼时效问题：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，一般的民事诉讼时效期间为三年。但是，如果银行在欠款逾期后，有通过合法方式（如发送催收通知、提起诉讼等）中断诉讼时效，那么诉讼时效可能会重新计算。因此，即使欠款逾期了10年，银行仍然有可能在诉讼时效内提起诉讼。
银行权利：
- 银行作为债权人，有权在债务人逾期未还款的情况下，通过法律途径追讨欠款。这包括向法院提起诉讼，要求债务人偿还欠款及可能产生的利息、滞纳金等。
二、实际操作角度
银行催收策略：
- 银行在处理逾期欠款时，通常会采取一系列催收措施，包括电话催收、信函催收、上门催收等。如果这些催收措施未能奏效，银行可能会选择通过法律途径解决。
- 在某些情况下，银行可能会将逾期欠款委托给第三方催收机构进行处理。这些机构可能会采取更为积极的催收策略，包括提起诉讼。
起诉流程：
- 如果银行决定提起诉讼，它会向法院提交起诉状及相关证据材料。法院在受理案件后，会向债务人发送起诉状副本及开庭传票等法律文书。
- 债务人在收到这些法律文书后，应当积极应诉，否则可能会面临缺席判决的风险。
三、建议与应对措施
核实起诉信息：
- 首先，你需要核实银行通知的起诉信息是否真实可靠。可以通过联系银行客服、查询法院公告等方式进行确认。
积极应诉：
- 如果起诉信息属实，你应当积极应诉，准备相关证据材料，如还款记录、沟通记录等，以证明自己的还款意愿和实际情况。
- 在应诉过程中，你可以与银行协商还款方案，争取达成和解或调解协议，以减轻自己的法律负担。
寻求法律帮助：
- 如果你对法律程序不熟悉或感到困惑，可以寻求专业律师的帮助。律师可以为你提供法律咨询、代理诉讼等服务，帮助你更好地应对起诉流程。
考虑还款计划：
- 无论最终结果如何，你都应当考虑制定一个合理的还款计划，以尽快偿还欠款并避免类似情况再次发生。这有助于维护你的信用记录和个人声誉。
后续思考依据：在面对此类情况时，除了积极应对起诉流程外，更重要的是要反思自己的消费和还款习惯，避免再次陷入类似的财务困境。同时，也要了解自己的法律权利和义务，以便在必要时采取合适的法律措施保护自己。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。