结论：员工请病假但没有医院证明，是否算病假需分情况讨论，主要取决于用人单位的规章制度、员工实际病情及请假时的沟通情况。以下从不同角度详细分析：

一、法律层面：未强制要求医院证明，但单位可合理规定

1. 法律未强制要求证明
   根据《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》等法律法规，劳动者因病需要休息时享有请病假的权利，但法律并未明确规定必须提供医院证明。这意味着，从法律底线角度，员工有权因病请假，单位不得仅因无证明而直接拒绝。

2. 单位可制定合理规章制度
   若用人单位通过民主程序（如职工代表大会讨论）制定了规章制度，明确要求请病假需提供医院证明（如诊断书、病历、病假条等），且该制度已向员工公示或告知，则员工应遵守此规定。若未提供证明，单位有权不按病假处理，可能视为事假或旷工。

二、实际操作：分情况处理，兼顾公平与效率

1. 突发急病或客观无法获取证明

   • 若员工因突发急病（如突发高烧、急性肠胃炎）无法第一时间获取医院证明，应及时向单位说明情况（如电话、微信告知上级），并尽快在病愈后补交证明。
     
   • 单位应灵活处理：在员工能合理解释且后续补交证明的情况下，单位通常应认可其病假。若单位拒绝，员工可主张自身权益，但需承担举证责任（如提供就诊记录、药品购买凭证等辅助证明）。

2. 非急病或主观未获取证明

   • 若员工因非紧急疾病（如慢性病复诊）未主动获取证明，或故意不提供证明，单位有权按规章制度处理（如不批准病假、按事假扣工资或按旷工处理）。
     
   • 风险提示：若单位规章制度明确要求证明且员工多次违反，可能构成“严重违反规章制度”，单位有权解除劳动合同且无需支付补偿。

三、特殊情形：工伤或职业病检查

若员工检查的是与工作相关的职业病或因工受伤，无论是否提供医院证明，均应按工伤假处理。单位需依据《工伤保险条例》支付工伤待遇，不得扣减工资或福利。

四、给员工的建议

1. 提前了解单位制度：请假前查阅员工手册或咨询HR，明确病假证明要求。
   
2. 及时沟通并补交证明：突发疾病时先告知单位，尽快补交证明；若无法获取，提供就诊记录、药品凭证等辅助材料。
   
3. 保留证据：保存所有与就医相关的材料（如挂号单、病历、检查报告），以备争议时使用。
   
4. 协商或投诉：若单位无理拒绝病假，可先协商；协商不成可向当地劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁。

五、给单位的建议

1. 制定合理制度：明确病假证明要求（如证明形式、补交时限），并通过民主程序公示。
   
2. 灵活处理特殊情况：对突发急病或客观无法获取证明的员工，允许事后补交；对疑似虚假病假，可要求员工配合核查（如陪同就医）。
   
3. 避免一刀切：结合员工病情、请假时长等因素综合判断，体现人性化管理。

总结：无医院证明是否算病假，需结合法律、单位制度及实际情况判断。员工应尽量提供证明，单位也应合理行使管理权。若发生争议，建议双方先协商，协商不成可通过法律途径解决。如有进一步疑问，可直接向我咨询。