结论：住酒店后长红痘痘能否申请赔偿，需根据具体情况判断，主要看是否因酒店环境或服务导致皮肤问题，且能否证明酒店存在过错或未尽到安全保障义务。以下从不同角度详细分析：
一、法律关系与责任认定
侵权责任角度：
- 根据《中华人民共和国民法典》中关于侵权责任的规定，若因酒店环境不卫生（如床单、毛巾不清洁，存在螨虫、细菌等）、设施问题（如水质不达标）或服务不当（如未提供必要的卫生用品）导致您皮肤过敏或感染，从而长出红痘痘，酒店可能构成侵权，需承担赔偿责任。
- 关键点：需证明红痘痘与酒店环境或服务之间存在因果关系，以及酒店存在过错或未尽到安全保障义务。
合同关系角度：
- 您与酒店之间存在住宿服务合同关系。若酒店未按照合同约定提供符合卫生标准的住宿环境，导致您身体受损，酒店可能构成违约，需承担违约责任。
- 关键点：需查看住宿合同中是否有关于卫生标准的明确约定，以及酒店是否违反了这些约定。
二、证据收集与证明责任
证据收集：
- 保留好住宿期间的发票、收据等凭证，以证明您曾在该酒店住宿。
- 拍摄红痘痘的照片或视频，记录皮肤问题的严重程度和持续时间。
- 如有必要，可前往医院就诊，保留好病历、诊断证明和医疗费用发票等证据。
- 收集其他可能证明酒店环境或服务存在问题的证据，如其他客人的评价、酒店卫生检查报告等。
证明责任：
- 您需承担初步的证明责任，即证明红痘痘是在住宿期间出现的，且可能与酒店环境或服务有关。
- 酒店则需承担反驳责任，即证明其已尽到安全保障义务，红痘痘的出现与其无关。
三、赔偿范围与计算方式
赔偿范围：
- 若酒店被认定存在过错或未尽到安全保障义务，您可能获得包括医疗费、误工费、交通费等在内的赔偿。
- 若红痘痘导致您精神受到严重损害，您还可能主张精神损害抚慰金。
计算方式：
- 医疗费：根据实际发生的医疗费用计算，需保留好相关发票和病历。
- 误工费：根据您的误工时间和收入状况计算。误工时间根据医疗机构出具的证明确定；收入状况根据您的实际收入或相近行业的平均收入确定。
- 交通费：根据您因就医或处理纠纷实际发生的交通费用计算，需保留好相关票据。
- 精神损害抚慰金：根据您的精神损害程度、酒店的过错程度等因素综合确定，无固定计算标准。
四、建议与行动步骤
与酒店协商：
- 首先尝试与酒店协商解决，出示相关证据，要求酒店给予合理赔偿。
向相关部门投诉：
- 若协商无果，可向当地旅游管理部门、消费者协会或卫生监督部门投诉，寻求行政调解或行政处罚。
提起诉讼：
- 若仍无法解决问题，可考虑向法院提起诉讼，通过法律途径维护自己的合法权益。
最后，住酒店后长红痘痘能否申请赔偿，需根据具体情况判断。建议您先收集好相关证据，再与酒店协商或寻求法律帮助。如有任何疑问或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询。