行政执法证件丢失后，不可以继续执法办案。以下是具体的法律依据和法律分析：
法律依据
根据《中华人民共和国行政处罚法》第五十五条的规定：“执法人员在调查或者进行检查时，应当主动向当事人或者有关人员出示执法证件。当事人或者有关人员有权要求执法人员出示执法证件。执法人员不出示执法证件的，当事人或者有关人员有权拒绝接受调查或者检查。”这一条款明确规定了执法人员在执行公务时必须出示执法证件，这是执法合法性的重要前提。
法律分析
执法证件的重要性：
- 执法证件是执法人员身份和执法权限的象征，是执法合法性的基础。
- 出示执法证件是执法人员履行职责时的法定义务，也是保障当事人合法权益的重要措施。
证件丢失后的影响：
- 如果执法证件丢失，执法人员将无法出示有效证件，从而无法证明其执法身份和权限。
- 在这种情况下，当事人或有关人员有权拒绝接受调查或检查，因为执法行为可能缺乏合法性基础。
后续处理措施：
- 执法人员一旦发现证件丢失，应立即向上级报告，并按照相关规定申请补办。
- 在补办期间，执法人员应暂停执法活动，以免因无法出示证件而导致执法行为无效或引发法律纠纷。
法律建议
- 及时补办：执法人员应尽快按照相关规定申请补办执法证件，以确保执法活动的合法性和有效性。
- 加强管理：执法部门应加强对执法证件的管理，建立严格的证件保管和使用制度，防止证件丢失或被盗用。
- 提升意识：执法人员应提升对执法证件重要性的认识，时刻注意保管好证件，避免因疏忽大意而导致证件丢失。
总结来说，行政执法证件丢失后，执法人员不可以继续执法办案。这是为了保障执法行为的合法性和有效性，以及当事人的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。