关于您提出的“批准留置的当天就对其进行留置吗”这一问题，我可以为您详细解答。

首先，留置措施的采取需要经过一系列严格的程序。根据《中华人民共和国监察法》及相关实施条例，监察机关在决定采取留置措施时，必须由监察机关领导人员集体研究决定，这包括纪检监察机关内部的研究程序以及报请同级党委的审批程序。只有经过这些程序，并获得批准后，监察机关才能依法采取留置措施。

在具体执行留置措施时，调查人员不得少于两人，并且需要向被留置人员宣布《留置决定书》，明确告知其权利义务，并要求其在《留置决定书》上签名、捺指印。这一程序确保了留置措施的合法性和正当性，也保障了被留置人员的合法权益。

至于您关心的“批准留置的当天是否就对其进行留置”的问题，这并没有一个固定的答案，因为它取决于多种因素，包括内部研究程序的进展、同级党委的审批速度以及具体执行留置措施的准备情况等。然而，从实际操作的角度来看，一旦留置措施获得批准，监察机关通常会尽快执行，以确保调查的顺利进行和证据的及时固定。

以各省留置“第一案”为例，我们可以看到，在监察体制改革后，各地监委在成立后迅速履职，对符合留置条件的对象依法采取了留置措施。这些案例表明，一旦留置措施获得批准，监察机关会尽快执行，但具体执行时间可能因案件情况和程序要求而有所不同。

综上所述，批准留置的当天是否就对其进行留置并没有一个固定的答案。它取决于多种因素，包括程序进展、审批速度以及执行准备情况等。然而，一旦留置措施获得批准，监察机关会尽快依法执行，以确保调查的顺利进行。希望这个解答能够对您有所帮助。如果您还有其他问题或需要进一步的解释，请随时告诉我。