出差期间在酒店死亡的责任认定需结合死亡原因、酒店过错程度及法律关系综合判断，具体分以下情形分析：

1. 若死亡系自身疾病或意外导致（如突发心梗、猝死），且酒店无过错
   根据《民法典》第1198条，酒店作为经营场所，仅在未尽到安全保障义务（如未提供基本急救设备、未及时协助送医等）时承担补充责任。若酒店已尽到合理注意义务（如房间设施符合安全标准、及时响应求助等），则无需担责。
   关键点：需证明酒店存在过错（如监控显示未及时处理突发情况、设施存在安全隐患等），否则责任自负。

2. 若死亡系酒店设施缺陷或服务过失导致（如触电、坠楼、食物中毒）
   酒店需承担直接侵权责任，依据《民法典》第1165条，需赔偿医疗费、丧葬费、死亡赔偿金等。例如：

   • 房间内电器漏电导致触电身亡；
     
   • 酒店未尽到安全提示义务（如未标注玻璃门、湿滑地面未警示）；
     
   • 提供的食品不符合卫生标准引发中毒。
     关键点：需通过鉴定或证据（如现场照片、医疗记录）证明死亡与酒店行为存在直接因果关系。

3. 若死亡涉及第三方侵权（如他杀、性侵）

   • 酒店未尽安全保障义务：如安保措施缺失（无监控、门锁损坏）、未及时制止违法行为等，需承担补充责任（按过错比例赔偿）。
     
   • 酒店已尽义务：若凶手系外部人员且酒店无过错（如已配备保安、及时报警），则由凶手承担刑事责任及民事赔偿，酒店无需担责。
     关键点：需结合酒店安保措施、事件发生时的响应速度等综合判断。

4. 特殊情形：工伤与侵权竞合
   若死亡被认定为工伤（如因工作原因突发疾病死亡，或出差期间遭遇事故），家属可同时主张工伤保险待遇及酒店侵权赔偿（若酒店有过错），但医疗费等实际支出部分不得重复获赔。
   关键点：需先通过劳动部门认定工伤，再根据酒店过错程度主张差额赔偿。

行动建议：

1. 立即报警并保护现场，固定证据（如监控、医疗记录、酒店设施照片）；
   
2. 委托律师调查酒店安全保障义务履行情况（如安保制度、设施维护记录）；
   
3. 根据死亡原因选择主张方向：若酒店无过错，通过工伤保险或商业保险理赔；若酒店有过错，同步提起侵权诉讼。
   

如有进一步证据或细节需分析，可直接向我提供具体信息以便精准解答。