交通事故构成交通肇事罪后，肇事者不一定会第一时间被拘留，而是要根据具体的案情和证据来判断。以下是对此问题的详细分析：
一、可能立即拘留的情况
涉嫌交通肇事罪且情节严重：
- 若交通事故造成人员重伤、死亡或重大财产损失，且肇事者负事故主要或全部责任，符合交通肇事罪的构成要件，公安机关可能会根据《刑事诉讼法》的相关规定，对肇事者采取刑事拘留措施。例如，造成一人死亡且肇事者负全责的情况，就涉嫌交通肇事罪，此时警方很可能会立即拘留肇事者。
存在逃逸或其他恶劣情节：
- 肇事者在事故发生后有逃逸行为，或者存在酒驾、毒驾、无证驾驶等严重违反交通法规的行为，公安机关也可能根据情况及时对其进行拘留。特别是酒后驾驶机动车，即使未造成严重后果，也可能面临行政拘留处罚；若达到醉酒驾驶标准，则涉嫌危险驾驶罪，会被刑事拘留。
符合《刑事诉讼法》规定的拘留条件：
- 根据《刑事诉讼法》第八十二条，公安机关对于现行犯或者重大嫌疑分子，如存在正在预备犯罪、实行犯罪或者在犯罪后即时被发觉的；被害人或者在场亲眼目睹的人指认其为罪犯的；在其身边或者住处发现有犯罪证据的；犯罪后试图自杀、逃跑或者在逃的；具有毁灭、伪造证据或者串供可能性的；无法提供真实姓名、住址，身份不明的；有流窜作案、多次作案、结伙作案重大嫌疑的等情形之一，均可先行拘留。
二、可能不立即拘留的情况
事故情节较轻：
- 在交通事故仅造成轻微财产损失或人员轻微伤，且肇事者没有严重违法情形的情况下，通常不会对肇事者进行及时拘留。此时，事故将按照一般交通事故处理程序进行，由交警部门进行事故责任认定，并组织双方进行调解。
责任尚待明确：
- 如果事故责任尚待进一步明确，或者存在争议，公安机关可能会先进行调查取证，待责任明确后再决定是否对肇事者进行拘留。
符合取保候审条件：
- 若肇事者可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；可能判处有期徒刑以上刑罚，但采取取保候审不致发生社会危险性的；或者患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，且采取取保候审不致发生社会危险性的等情形，可以申请取保候审，此时肇事者可能不会被立即拘留。
三、拘留后的处理流程
- 行政拘留：对于尚未构成犯罪但违反了交通管理法规或其他行政管理规定的肇事者，可能会被处以行政拘留。根据《治安管理处罚法》，行政拘留的期限最长不超过20日。
- 刑事拘留：若肇事者涉嫌构成犯罪，则可能会被刑事拘留。刑事拘留的期限通常是14日，对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，最长可以延长至37日。在拘留期间，公安机关会进一步调查取证，以决定是否对肇事者进行逮捕和起诉。
总结来看，交通事故构成交通肇事罪后，肇事者是否会被第一时间拘留，取决于事故的具体情况、肇事者的行为以及相关法律法规的规定。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。