当第一顺位继承人只有一人时，其继承遗产的情况主要依据《中华人民共和国民法典》中关于法定继承的规定，同时也要考虑是否存在合法有效的遗嘱或遗赠扶养协议。以下是对这一问题的详细解答：
一、法定继承情况下的继承原则
第一顺序继承人的范围：
- 根据《民法典》第一千一百二十七条，第一顺序继承人包括配偶、子女（包括婚生子女、非婚生子女、养子女和有扶养关系的继子女）、父母（包括生父母、养父母和有扶养关系的继父母）。
独享遗产的原则：
- 若其他第一顺序继承人均已不存在（如去世、丧失继承权等），剩下的这一个第一顺序继承人将依法继承被继承人的全部遗产。
特殊情况处理：
- 胎儿预留份额：若被继承人死亡时，其配偶怀有胎儿，应保留胎儿的继承份额。胎儿出生为活体时，享有此份额；若为死体，则由剩余的第一顺序继承人继承。
二、存在遗嘱或遗赠扶养协议时的继承规则
遗嘱优先原则：
- 如果被继承人生前立有合法有效的遗嘱，即使第一顺序继承人只剩一个，也须按遗嘱内容分配遗产。遗嘱可以指定遗产分配给法定继承人中的一人或数人，或赠与法定继承人以外的个人、组织或国家。
遗赠扶养协议优先：
- 若被继承人生前与他人签订了遗赠扶养协议，继承时应优先执行协议内容。仅对协议未涉及的遗产部分，才按法定继承或遗嘱继承办理。
三、遗产继承的程序与注意事项
明确遗产范围：
- 继承开始前，需清晰界定被继承人的遗产范围，包括但不限于动产、不动产等合法财产。
办理继承手续：
- 确定唯一的第一顺序继承人后，需按法律规定办理继承手续，如提交证明文件（如户籍证明、亲属关系公证等）、进行遗产评估（如需要）等。
- 对于不动产，需向不动产登记机构提交继承公证书或法院判决书办理过户；对于银行存款，凭继承权公证书或生效法律文书支取；其他财产则按权属登记部门要求办理变更手续。
承担相关义务：
- 继承人需承担与遗产相关的义务和责任，如缴纳遗产税（如适用）、处理遗产纠纷等。
特殊情况的考量：
- 如遗产存在债务、涉及特殊归属约定（如指定受益人的保险金）等情况，可能影响遗产分配和继承人权利，需特别关注并妥善处理。
四、实际操作建议
- 咨询专业律师：在处理遗产继承问题时，建议咨询专业律师以确保遵循相关法律法规，确保遗产分配的公正性和合法性。
- 保留相关证据：在办理继承手续过程中，保留好所有相关证据和文件，以备不时之需。
- 和平协商解决：如果存在多个继承人或继承过程中出现争议，建议通过和平协商或调解方式解决，以避免不必要的法律纠纷。
综上所述，当第一顺序继承人只剩一个时，其继承权的实现需综合考虑法定继承原则、遗嘱或遗赠扶养协议的存在以及遗产继承的具体程序和注意事项。在实际操作中，应严格遵循相关法律法规，确保遗产分配的公正性和合法性。