结论：出租车司机是否应该承担责任，需根据事故发生的具体情况来判断，包括司机是否在执行职务期间、事故发生的原因、是否存在第三方责任以及车辆状况等因素。以下是对不同情形的详细分析：
一、司机在执行职务期间发生事故
出租车公司承担责任：
- 若出租车司机在正常营运期间发生交通事故并致他人损害，根据《中华人民共和国民法典》第一千一百九十一条，由出租车公司承担赔偿责任。这是因为司机此时的行为被视为职务行为，其造成的损害后果应由用人单位即出租车公司来承担。
- 例外情况：若司机存在故意或重大过失，出租车公司在赔偿后有权向司机追偿。
责任划分与认定程序：
- 交通事故的责任划分和认定通常由交警部门根据当事人的行为对事故发生的作用以及过错的严重程度来进行。交警部门会出具事故责任认定书，明确各方当事人的责任比例，这是后续处理赔偿事宜的重要依据。
二、司机非执行职务期间发生事故
- 司机自行承担责任：
- 若出租车司机并非在执行职务期间（如下班后私用车辆）发生交通事故，则司机作为侵权人需自行承担民事赔偿责任。
- 保险赔付：若车辆已购买保险，保险公司将在保险责任限额内先行赔付，不足部分由司机个人承担。
三、特殊情形下的责任划分
租赁情形：
- 若出租车是司机从公司租赁而来，并在租赁期间发生事故，首先由保险公司在机动车强制保险责任限额内赔偿。不足部分，由机动车使用人（即司机）承担赔偿责任。
- 车主责任：若出租车公司（机动车所有人）对损害的发生有过错（如车辆存在故障未告知），则需承担相应的赔偿责任。
挂靠情形：
- 对于挂靠在出租车公司名下的个人出租车，若发生交通事故并造成损害，挂靠人和被挂靠人（即出租车公司）需承担连带责任。这意味着受害人可以向任何一方索赔，且双方均有赔偿义务。
第三方责任：
- 若交通事故是由第三方的过错（如其他车辆违规驾驶）导致的，则第三方应承担相应的赔偿责任。此时，出租车司机和出租车公司可以向第三方进行索赔。
车辆机械故障或质量问题：
- 若事故是由于出租车本身的机械故障或其他质量问题引发的，出租车公司作为车辆的所有者和管理者，应承担相应的赔偿责任。
劳务派遣情形：
- 在劳务派遣期间，若被派遣的出租车司机因执行工作任务造成他人损害，由接受劳务派遣的用工单位（即出租车公司）承担侵权责任；劳务派遣单位有过错的，承担相应的责任。
四、实际操作建议
及时报警并通知保险公司：
- 无论事故责任如何划分，出租车司机在发生事故后应立即报警并通知保险公司，以便及时处理事故和进行保险赔付。
收集证据：
- 出租车司机应尽可能收集事故现场的证据，如照片、视频、证人证言等，以便在后续的责任划分和赔偿处理中提供有力支持。
咨询专业律师：
- 在处理复杂的交通事故责任划分和赔偿问题时，出租车司机可以咨询专业律师，以获取更具体、更专业的法律建议。
总结：出租车司机是否应该承担责任，需根据事故发生的具体情况来判断。在处理此类事故时，应详细分析事故发生的具体情况，并依据相关法律法规进行责任划分和赔偿处理。如果你有具体的法律问题或需要进一步的法律建议，可以直接向我咨询。