结论：没签合同的情况下，发工资是否需要开发票，需根据工资支付主体和性质来区分处理。具体分析如下：

1. 若工资由公司支付给员工（劳动关系）
   根据《中华人民共和国劳动合同法》和《税收征收管理法》，公司向员工支付工资属于“工资薪金”支出，无需员工向公司开具发票。公司需履行代扣代缴个人所得税义务，并在企业所得税汇算清缴时，凭工资表、考勤记录等内部凭证作为税前扣除依据。
   例外情形：若公司向非全日制员工或临时工支付报酬，且单次金额超过800元，需按“劳务报酬”代扣个税，但仍无需员工开发票。

2. 若工资由个人支付给其他个人（非劳动关系）
   例如个人雇佣保姆、家教等，支付方无需取得发票，但需按“劳务报酬”代扣代缴个人所得税（若单次收入超800元）。接收方需自行申报个人所得税（如综合所得年度汇算）。

3. 若公司向非员工支付报酬（如独立顾问、兼职人员）
   此时支付性质属于“劳务报酬”或“经营所得”，接收方需向公司开具发票（可到税务局代开）。公司需凭发票作为税前扣除凭证，并代扣代缴个税（若按劳务报酬处理）。
   关键区分：若接收方注册了个体工商户或公司，则属于“经营所得”，需开具增值税发票；若为自然人，则按劳务报酬处理，可代开普票。

建议：

• 企业应区分劳动关系与劳务关系，避免用工资表处理非员工报酬，否则可能面临税务风险（如无法税前扣除）。
  
• 个人接收报酬时，若对方要求发票，可携带身份证、合同等材料到税务局代开（免税额度内可能无需缴税）。
  

如有具体场景需进一步分析，可直接向我咨询。