结论前置：拖欠农民工工资一般属于劳动纠纷，通常由劳动行政部门或劳动仲裁委员会先行处理。但当行为涉嫌拒不支付劳动报酬罪时，公安机关将介入立案侦查，依法追究相关责任人的刑事责任。以下是对此问题的详细解析：
一、案件性质判断与处理途径
一般劳动纠纷：
- 性质界定：单纯的拖欠农民工工资，若属于劳动争议纠纷，本质上是一种民事纠纷。
- 处理途径：此类纠纷通常通过劳动监察、劳动仲裁、民事诉讼等途径解决。公安机关不直接介入，但会引导农民工通过合法途径维权。
- 具体操作：建议农民工首先向劳动保障监察机构投诉，或准备相关证据（如劳动合同、工资条等）向劳动争议仲裁委员会提出仲裁申请。对仲裁结果不满的，可向人民法院提起民事诉讼。
涉嫌刑事犯罪：
- 性质界定：若用人单位以转移财产、逃匿等方法逃避支付劳动者的劳动报酬，或者有能力支付而不支付，且数额较大，经政府有关部门责令支付仍不支付的，构成拒不支付劳动报酬罪。
- 处理途径：公安机关依法立案侦查，并采取相应的刑事强制措施。
二、公安机关的处理程序与措施
立案程序：
- 劳动者投诉：劳动者首先应向劳动监察部门投诉，劳动监察部门会责令用人单位限期支付工资。
- 公安机关审查立案：若用人单位逾期未支付，劳动者可向公安机关报案。公安机关对案件进行审查，收集相关证据，确定是否符合立案标准。符合标准的，正式立案侦查。
处理措施：
- 调查取证：公安机关会全面收集证据，包括用人单位的财务状况、银行账户流水等，以确定是否存在违法行为。
- 依法处理：对违法用人单位进行处罚，如罚款、拘留等。对涉嫌拒不支付劳动报酬罪的，依法追究相关责任人的刑事责任。
- 协调解决：在调查处理过程中，公安机关会积极协调双方矛盾，寻求解决方案。达成协议后，监督协议履行情况。
三、拒不支付劳动报酬罪的认定条件
根据《中华人民共和国刑法》第二百七十六条之一的规定，以下行为构成拒不支付劳动报酬罪：
行为方式：
- 逃避支付：通过转移财产、逃匿等方法逃避支付劳动者的劳动报酬。
- 有能力支付而不支付：具备支付能力但故意不支付劳动者的劳动报酬。
数额较大：
- 具体标准因地区经济社会发展情况而异，但通常指拒不支付一名劳动者三个月以上的劳动报酬且数额在五千元至二万元以上，或拒不支付十名以上劳动者的劳动报酬且数额累计在三万元至十万元以上。
经政府有关部门责令支付仍不支付：
- 政府有关部门（如人力资源社会保障部门）已下达责令支付文书，用人单位在规定期限内仍未支付。
四、农民工报案与证据准备
当农民工认为用人单位的行为涉嫌拒不支付劳动报酬罪时，可向公安机关报案。报案时应准备以下材料：
- 身份证明：提供身份证等有效身份证件。
- 劳动关系证明：包括劳动合同、工资条、工作证、考勤记录、工友证言等，以证明劳动关系及劳动报酬的具体情况。
- 政府部门责令支付的相关材料：如《劳动保障监察责令改正决定书》等文书的复印件或相关证明材料。
五、其他重要注意事项
- 证据保留：劳动者应及时主张权利，并收集、保留好相关证据（如工资条、考勤记录、劳动合同等），以便在申诉时有效维护自身合法权益。
- 时效问题：劳动仲裁时效期间为一年，从当事人知道或应当知道其权利被侵害之日起计算。对仲裁裁决不服提起诉讼的民事诉讼时效为三年。
- 法律救济：对于不构成犯罪的拖欠工资行为，劳动者可通过劳动监察、劳动仲裁、民事诉讼等途径寻求法律救济；对于构成犯罪的，公安机关将依法严惩。
综上所述，公安机关在处理拖欠农民工工资问题时，会根据案件性质采取相应的处理措施。同时，劳动者也应积极主张自身权利，及时收集证据，并通过合法途径寻求法律救济。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。