结论：在父亲去世、母亲健在且房子在父亲名下的情况下，若要出租房屋，通常需要先完成房屋产权的继承变更登记，将房屋产权变更至母亲或其他继承人名下；若暂不办理继承变更登记，母亲及其他继承人可共同出具委托书委托他人出租房屋。以下是具体说明：
一、完成房屋产权继承变更登记后出租房屋
- 办理继承手续
- 根据《中华人民共和国民法典》继承编的规定，父亲去世后，其名下的房屋作为遗产，首先需要确定继承人。如果有遗嘱，按照遗嘱继承；没有遗嘱的，按照法定继承办理。法定继承中，第一顺序继承人为配偶、子女、父母。母亲作为配偶是法定继承人之一。
- 继承人需要携带父亲的死亡证明、房屋产权证书、亲属关系证明（如户口本、结婚证等）、遗嘱（如有）等相关材料，到不动产登记中心办理房屋继承变更登记手续，将房屋产权变更至继承人名下。如果母亲是唯一继承人或者与其他继承人协商一致由母亲取得房屋产权，那么房屋产权将变更至母亲名下。
- 出租房屋
- 房屋产权变更至母亲名下后，母亲作为房屋的所有权人，有权自行决定出租房屋。母亲可以与承租人签订房屋租赁合同，明确双方的权利和义务，如租金、租期、房屋用途、维修责任等。
二、暂不办理继承变更登记，委托他人出租房屋
- 确定委托人
- 如果母亲和其他继承人协商一致，可以共同委托一人或多人代为出租房屋。委托人可以是继承人中的一人，也可以是继承人之外的其他人。
- 撰写委托书
- 标题：委托书
- 委托人信息：写明母亲和其他继承人的姓名、身份证号码、联系地址、联系电话等基本信息。如果有多个继承人，需要分别列出每个人的信息。
- 受托人信息：写明受托人的姓名、身份证号码、联系地址、联系电话等基本信息。
- 委托事项：明确委托受托人代为办理房屋出租相关事宜，包括但不限于寻找承租人、与承租人洽谈租金、租期等租赁条件、签订房屋租赁合同、收取租金、办理房屋交接手续等。
- 委托权限：可以明确受托人在办理委托事项时的权限范围，如是否有权转委托、是否有权对租赁合同进行修改等。一般来说，为了保障委托人的利益，委托权限应明确具体，避免过于宽泛。
- 委托期限：写明委托的起止时间，可以根据实际情况确定一个合理的期限。
- 委托人签字（或盖章）及日期：母亲和其他继承人需要在委托书上签字（或盖章），并注明委托书的签订日期。
以下是一份委托书示例：
委托书
委托人1：[母亲姓名]，身份证号码：[母亲身份证号]，联系地址：[母亲联系地址]，联系电话：[母亲联系电话]
委托人2：[其他继承人姓名1]，身份证号码：[其他继承人身份证号1]，联系地址：[其他继承人联系地址1]，联系电话：[其他继承人联系电话1]
……（如有多个继承人，依次列出）
受托人：[受托人姓名]，身份证号码：[受托人身份证号]，联系地址：[受托人联系地址]，联系电话：[受托人联系电话]
委托事项：
委托人共同委托受托人代为办理位于[房屋具体地址]的房屋出租相关事宜，包括但不限于寻找承租人、与承租人洽谈租金、租期等租赁条件、签订房屋租赁合同、收取租金、办理房屋交接手续等。
委托权限：
受托人在办理上述委托事项时，有权在合理范围内与承租人协商租赁条件，并签订房屋租赁合同。受托人无权转委托，也无权对租赁合同进行重大修改（如租金大幅调整、租期大幅延长等），如需进行重大修改，需事先征得委托人的书面同意。
委托期限：
自[委托起始日期]起至[委托结束日期]止。
委托人签字（或盖章）：
委托人1：[母亲签字]
委托人2：[其他继承人签字1]
……
日期：[委托书签订日期]
在出租房屋过程中，无论是哪种情况，都建议签订详细的房屋租赁合同，以明确双方的权利和义务，避免发生纠纷。如果在办理过程中遇到任何法律问题，可以直接向我咨询。