结论：在追尾网约车且对方起诉要求停运损失费的情况下，起诉费（诉讼费）的承担问题需根据诉讼结果来确定，一般原则是由提起诉讼的一方先行支付，但最终可能由侵权人（即您，如果被认定全责）承担。同时，停运损失费依法也应由侵权人承担，若您投保了相关保险，则保险公司应在保险责任范围内先行赔付。
详细分析：
停运损失费的承担：
- 根据《最高人民法院关于审理道路交通事故损害赔偿案件适用法律若干问题的解释》第十二条，因道路交通事故造成依法从事货物运输、旅客运输等经营性活动的车辆，因无法从事相应经营活动所产生的合理停运损失，当事人请求侵权人赔偿的，人民法院应予支持。
- 在您追尾网约车且被认定全责的情况下，您作为侵权人应承担网约车因无法运营而产生的停运损失。
起诉费用（诉讼费）的承担：
- 一般原则：起诉费用通常由提起诉讼的一方先行支付。这意味着网约车司机在起诉时需要先垫付诉讼费。
- 最终承担：若诉讼结果判定您需赔偿停运损失，则起诉费用作为诉讼成本的一部分，通常也会由您承担。这是因为诉讼费是因您的侵权行为而引发的诉讼所产生的费用。若诉讼未获支持，即法院判决您不承担赔偿责任，则起诉费用可能由网约车司机自行承担。
保险赔付的可能性：
- 根据《中华人民共和国道路交通安全法》第七十六条，机动车发生交通事故造成财产损失的，由保险公司在机动车第三者责任强制保险责任限额范围内予以赔偿。
- 若您投保了交强险或商业三者险，且保险条款涵盖停运损失赔偿，则保险公司应在保险责任限额内承担赔偿责任，包括停运损失费和可能的起诉费用（如果保险条款有此约定）。
个人承担的情况：
- 如果保险赔付不足部分或您未投保相关保险，那么您需要个人承担停运损失费及可能涉及的起诉费用。
建议与行动：
- 积极应诉：如果网约车司机已经起诉您，建议您积极应诉，准备相关证据材料，如事故认定书、保险单等，以维护自己的合法权益。
- 与保险公司沟通：及时与您的保险公司沟通，了解保险条款中关于停运损失赔偿和起诉费用承担的具体规定，以便在诉讼中更好地主张自己的权益。
- 考虑和解：如果双方对赔偿金额和责任承担没有太大争议，可以考虑和解，以节省诉讼时间和费用。
可能后果：
- 如果法院判决您承担赔偿责任，您需要按照判决结果支付停运损失费和可能的起诉费用。
- 如果您未按时履行判决，网约车司机可以申请强制执行，这可能会对您的信用记录和财产状况产生不利影响。
希望以上分析能对您有所帮助。如果您有任何其他问题或需要进一步的法律建议，请随时向我咨询。