结论：抚养权原本在母亲处，孩子却跑到父亲那里并出了事，这种情况下母亲是否需要承担责任以及如何处理，需根据具体情况来判断，包括孩子的年龄、出事的原因、父母双方的监护责任履行情况等。以下从不同角度进行分析：
一、母亲是否需承担责任
若母亲已尽到监护责任：
- 如果母亲能够证明自己已经尽到了合理的监护责任，比如孩子是在父亲不知情或未同意的情况下自行前往父亲处，且母亲在发现孩子不见后及时采取了寻找措施，那么母亲可能不需要承担因孩子出事而产生的法律责任。
- 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，父母对未成年子女负有抚养、教育和保护的义务。若母亲已履行这些义务，则无需承担额外责任。
若母亲未尽到监护责任：
- 如果母亲因疏忽或故意未履行监护责任，比如明知孩子去了父亲处却未采取任何措施，或者未对孩子进行必要的安全教育，导致孩子出事，那么母亲可能需要承担一定的法律责任。
- 法律后果：这可能包括民事赔偿责任，即需要赔偿因孩子出事而给父亲或其他第三方造成的损失；在极端情况下，如果母亲的行为构成犯罪（如虐待、遗弃等），还可能面临刑事责任。
二、如何处理此类情况
立即采取措施保护孩子：
- 无论抚养权在谁处，孩子的安全和健康都是首要的。一旦发现孩子出事，父母双方都应立即采取措施保护孩子，包括送医治疗、报警等。
沟通协商解决：
- 父母双方应尽快沟通，了解孩子出事的具体情况，并协商解决后续事宜。这包括确定孩子的监护责任、分担医疗费用等。
寻求法律帮助：
- 如果父母双方无法就孩子的监护责任或赔偿事宜达成一致，可以寻求法律帮助。可以咨询专业律师，了解自己的权利和义务，以及可能的法律后果。
- 律师建议：在此过程中，母亲应收集并保留相关证据，如与孩子的通信记录、寻找孩子的记录等，以证明自己已尽到监护责任或说明孩子出事的具体情况。
考虑变更抚养权：
- 如果母亲认为将孩子交给父亲抚养更有利于孩子的成长和安全，或者父亲认为母亲无法履行监护责任，双方可以考虑通过法律途径变更抚养权。
- 变更流程：这通常需要通过法院进行判决，法院会综合考虑孩子的年龄、健康状况、父母的抚养能力和条件等因素来做出决定。
三、特殊情况考虑
- 孩子年龄因素：如果孩子已经达到一定年龄（如8周岁以上），法院在判决抚养权时可能会考虑孩子的意愿。
- 父母双方经济状况：如果父母双方的经济状况差异较大，法院在判决抚养权时也可能会考虑这一因素，以确保孩子能够得到更好的抚养条件。
进一步思考：在处理此类抚养纠纷时，父母双方应始终将孩子的利益放在首位，通过沟通协商或法律途径妥善解决争议。同时，父母双方也应加强自我约束和责任感，共同为孩子的成长创造一个良好的环境。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。