判决执行后，当事人仍然有权申请再审。这一权利并不因案件已进入执行程序而丧失，但具体能否启动再审程序，还需根据法律规定和案件具体情况来判断。以下是对此问题的详细解答：
一、申请再审的法律依据
根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，当事人对已经发生法律效力的判决、裁定，认为有错误的，可以向上一级人民法院申请再审。这是法律赋予当事人的一项救济权利，旨在纠正可能存在的错误裁判，维护司法公正和当事人的合法权益。
二、申请再审的条件
除了法律规定的再审事由外（如新证据足以推翻原判决、原判决认定事实缺乏证据证明、原判决适用法律错误等），申请再审还需满足以下条件：
时间限制：当事人申请再审，应当在判决、裁定发生法律效力后六个月内提出。有特定情形的（如发现新的证据、原判决认定事实的主要证据是伪造的等），自知道或者应当知道之日起六个月内提出。
提交材料：申请再审时，应当向人民法院提交再审申请书等材料，并按照被申请人人数提交再审申请书副本。再审申请书应明确再审请求、事实和理由，并提供相关证据支持。
三、申请再审的程序
提交申请：当事人向上一级人民法院提交再审申请书及相关材料。
法院审查：人民法院会对再审申请进行审查，包括形式审查和实质审查。形式审查主要检查申请材料是否齐全、是否符合法定格式等；实质审查则对再审事由进行审查，判断是否符合法定的再审条件。
决定是否再审：经审查，如果法院认为再审申请符合法定条件，会裁定再审；如果认为不符合法定条件，会裁定驳回再审申请。
四、申请再审对执行的影响
执行不停歇：一般情况下，当事人提出再审申请并不会影响原判决、裁定的执行。即，即便再审程序启动，除非再审法院作出特别裁定，否则原执行程序将继续进行。
中止执行的例外：若再审法院经审查决定再审，并认为有必要中止原判决、裁定、调解书的执行，将作出相应裁定。但涉及追索赡养费、扶养费、抚育费、抚恤金、医疗费用、劳动报酬等民生类案件，为保障基本生活需求，即使再审程序启动，执行也可能不被中止。
五、注意事项
及时行使权利：当事人应在规定的期限内提出再审申请，逾期则可能丧失申请再审的权利。
提供充分证据：申请再审时，应提供充分的证据支持自己的主张，否则可能面临被驳回的风险。
遵守诉讼程序：在申请再审过程中，当事人应遵守诉讼程序，配合法院的审查工作。
实例说明
以合同纠纷为例，假设法院判决后，败诉方未按判决履行义务，胜诉方遂申请强制执行。在执行过程中，若败诉方发现了新证据，足以推翻原判决，此时败诉方完全有权利依法申请再审。同时，除非再审法院作出特别裁定，否则原执行程序将继续进行，以确保胜诉方的合法权益得到及时保护。
综上所述，判决执行后当事人仍然有权申请再审，但需注意再审程序的法定性与结果的不确定性。如果你在此过程中有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。