申请履行法定职责主要涉及的是《中华人民共和国行政诉讼法》及相关法律法规。以下是对此问题的详细分析：
《中华人民共和国行政诉讼法》的核心规定：
- 根据《中华人民共和国行政诉讼法》第十二条，人民法院受理公民、法人或者其他组织提起的诉讼，其中包括对行政机关不履行法定职责的行为。这意味着，如果行政机关未履行其应当履行的法定职责，公民、法人或其他组织有权向人民法院提起诉讼，要求行政机关履行。
- 具体来说，当行政机关接到申请后，应当在法定期限内作出答复或处理。如果行政机关未在法定期限内履行职责，申请人可以依法向人民法院提起行政诉讼，请求法院判决行政机关履行法定职责。
其他相关法律法规：
- 除了《中华人民共和国行政诉讼法》外，还有一些具体的法律法规对行政机关履行法定职责作出了规定。例如，《中华人民共和国政府信息公开条例》规定了行政机关在政府信息公开方面的法定职责，如果行政机关未按照规定公开政府信息，申请人可以依法申请行政复议或提起行政诉讼。
- 此外，不同领域的行政法规、规章等也可能对特定行政机关的法定职责作出具体规定。因此，在申请履行法定职责时，需要具体了解相关领域的法律法规。
申请履行法定职责的流程：
- 申请人首先应当向具有法定职责的行政机关提出申请，并明确说明申请的事项和理由。
- 行政机关在接到申请后，应当在法定期限内作出答复或处理。如果行政机关未在法定期限内履行职责，申请人可以依法向上一级行政机关或同级人民政府申请行政复议，或者向人民法院提起行政诉讼。
- 在行政复议或行政诉讼过程中，申请人需要提供充分的证据证明行政机关未履行法定职责，并说明自己的合法权益受到了侵害。
法律建议：
- 在申请履行法定职责前，建议申请人先了解相关领域的法律法规，明确行政机关的法定职责和履行期限。
- 如果行政机关未在法定期限内履行职责，申请人应当及时收集证据，准备行政复议或行政诉讼材料。
- 在行政复议或行政诉讼过程中，申请人应当积极配合复议机关或法院的工作，提供必要的证据和说明。
总结来说，申请履行法定职责主要涉及的是《中华人民共和国行政诉讼法》及相关法律法规。在申请过程中，申请人需要了解相关法律法规，明确行政机关的法定职责和履行期限，并及时收集证据准备行政复议或行政诉讼材料。如果你在申请履行法定职责过程中遇到任何问题，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供专业的法律建议。