在遇到商标侵权问题时，负责处理的部门主要是市场监督管理部门（即原工商行政管理部门）。以下是对此问题的详细解答：
市场监督管理部门的职责：
- 市场监督管理部门是负责商标管理工作的行政机关，有权对侵犯注册商标专用权的行为进行查处。
- 他们可以依法责令立即停止侵权行为，没收、销毁侵权商品和主要用于制造侵权商品、伪造注册商标标识的工具，并处以罚款。
- 对于情节严重的商标侵权行为，市场监督管理部门将从重处罚。
其他相关部门的配合：
- 虽然市场监督管理部门是主要负责处理商标侵权的部门，但海关等部门在进出口货物监管中也会对商标侵权行为进行监管，防止侵权商品进出境。
- 在商标侵权案件涉及刑事责任时，公安部门也会介入调查，并依法追究侵权人的刑事责任。
法律途径的选择：
- 除了向市场监督管理部门投诉外，商标注册人或者利害关系人还可以向人民法院起诉，通过司法途径来维护自己的商标权益。
- 人民法院在受理商标侵权案件后，会依据相关法律规定进行审理和判决，对侵权行为进行制裁，并责令侵权人承担相应的民事责任，如赔偿损失等。
综上所述，商标侵权问题主要由市场监督管理部门负责处理，同时其他相关部门也会配合打击商标侵权行为。如果您遇到商标侵权问题，可以直接向市场监督管理部门投诉，或者选择向人民法院起诉来维护自己的合法权益。