赠品商标的使用是否构成商标侵权，主要取决于是否获得了商标权人的授权以及是否存在混淆误认的可能性。以下是对此问题的详细分析：
一、构成商标侵权的情况
未经授权使用注册商标：
- 根据《中华人民共和国商标法》第五十七条第一项和第二项，未经商标注册人的许可，在同一种商品上使用与其注册商标相同的商标，或者在同一种商品上使用与其注册商标近似的商标，以及在类似商品上使用与其注册商标相同或者近似的商标，容易导致混淆的，均属侵犯注册商标专用权。例如，若商家未经耐克公司授权，在赠品运动鞋上印制耐克的“√”商标，即构成侵权。
搭赠行为中的侵权：
- 搭赠实质是一种特殊的销售行为，如果搭赠的商品上使用的商标未经注册或未获得商标持有人的同意，同样构成商标侵权。搭赠人应承担停止侵权的责任，明知或应知所搭赠的商品是侵犯注册商标专用权的商品的，还应承担损害赔偿责任。例如，商家在销售商品时，附赠了侵犯某品牌商标的商品，即使附赠的商品并未单独收费，也构成商标侵权。
造成混淆误认：
- 即使赠品上的商标与他人商标不完全相同，但如果整体视觉效果、读音、含义等方面相似，容易使消费者对商品来源产生混淆，也构成侵权。例如，商家在赠品水杯上印制与星巴克商标极为相似的标识，导致消费者误认为该水杯与星巴克有关，即构成侵权。
二、不构成商标侵权的情况
获得合法授权：
- 如果使用商标的一方获得了商标权人的书面许可或其他合法授权，并且按照授权的范围、方式、期限等要求在赠品上使用商标，则这种使用是合法的，不构成侵权。例如，商家与可口可乐公司签订了授权协议后，在赠品T恤上印制可口可乐商标，属于合法使用。
合理使用：
- 在某些特定情形下，对商标的使用可能属于合理使用，不构成侵权。这通常发生在为了说明赠品的性质、特点、用途等描述性目的而使用他人商标，且使用方式符合商业惯例和诚实信用原则的情况下。例如，商家在赠品手机壳的宣传资料中提到“适配苹果手机”，这里的“苹果”商标使用是为了准确说明产品适配对象，属于合理使用。
三、法律责任与商家义务
法律责任：对于构成商标侵权的赠品使用行为，侵权人需承担相应的法律责任，包括但不限于停止侵权行为、赔偿损失等。根据《商标法》及其实施细则的相关规定，工商行政管理机关可以采取责令停止侵权、没收销毁侵权商品和工具、处以罚款等措施。对侵权单位的直接责任人员，也可根据情节处以罚款。
商家义务：商家在经营活动中向顾客附赠商品时，应对所赠送商品的来源及相关知识产权进行严格审查。确保赠品不侵犯他人的注册商标专用权，以维护正常的市场竞争秩序和消费者的合法权益。
总结来说，赠品上印制商标是否构成侵权需根据具体情况判断，主要考虑是否获得授权以及是否存在混淆误认的可能性。商家应谨慎处理商标使用问题，确保合规经营。如果您在赠品商标使用方面存在疑问或不确定是否构成侵权，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律意见和指导。