假冒注册商标的商品罪确实属于检察一部（或具体负责刑事案件审查起诉的检察部门）的管辖范围。以下是对此问题的详细分析：

1. 案件性质与管辖部门：

   • 假冒注册商标罪是一种刑事犯罪，它侵犯了商标权人的合法权益，并扰乱了市场秩序。根据我国的法律体系，刑事案件的侦查、起诉和审判分别由公安机关、人民检察院和人民法院负责。
   • 在假冒注册商标罪的案件中，公安机关首先负责立案侦查，收集证据，抓捕犯罪嫌疑人。一旦确认存在犯罪行为，公安机关会将案件移送至人民检察院进行审查起诉。

2. 人民检察院的职责：

   • 人民检察院在收到公安机关移送的假冒注册商标罪案件后，会对案件的证据、事实等进行全面审查。这包括审查证据的合法性、关联性和充分性，以及犯罪嫌疑人的行为是否构成犯罪等。
   • 如果人民检察院认为案件证据确凿、事实清楚，且犯罪嫌疑人的行为构成犯罪，那么它会向人民法院提起公诉，并代表国家指控犯罪。同时，人民检察院还履行法律监督职责，确保案件的公正处理。

3. 检察一部的具体职责：

   • 在人民检察院内部，不同部门可能负责不同类型的案件。检察一部通常负责刑事案件的审查起诉工作，包括假冒注册商标罪等侵犯知识产权的刑事案件。
   • 因此，假冒注册商标的商品罪作为刑事案件，其审查起诉工作通常由检察一部或具体负责刑事案件审查起诉的检察部门负责。

4. 实际操作中的注意事项：

   • 在实际操作中，如果受害人或相关权利人发现假冒注册商标的商品罪行为，可以向公安机关报案。公安机关在调查后，会将案件移送至人民检察院进行审查起诉。
   • 同时，受害人或相关权利人也可以直接向人民检察院反映情况，请求其依法履行法律监督职责，确保案件的公正处理。

建议：如果您或您身边的人遇到了假冒注册商标的商品罪相关问题，建议及时向公安机关报案，并积极配合公安机关和人民检察院的调查工作。如果您对案件的处理过程或结果有疑问或不满，也可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供专业的法律建议。