销售假冒注册商标的商品罪主要由公安机关负责管辖，同时市场监督管理部门、海关部门、人民检察院和人民法院等也在不同环节参与管理和处理。以下是对各部门职责的详细阐述：
公安机关与刑事侦查：
- 主要职责：销售假冒注册商标的商品罪属于刑事案件范畴，由公安机关负责立案侦查。公安机关在接到报案或自行发现线索后，会立即展开调查，收集证据，抓捕犯罪嫌疑人，并依法追究其刑事责任。
- 处理流程：公安机关会依据相关法律规定对案件进行侦查，包括现场勘查、询问证人、调取证据等。一旦确认存在销售假冒注册商标的商品的行为且达到犯罪程度，公安机关将依法移送案件至人民检察院审查起诉。
市场监督管理部门（原工商行政管理部门）与行政执法：
- 主要职责：市场监督管理部门负责对注册商标和未注册商标使用行为的监督管理，并依职权或根据投诉查处商标侵权行为。即使行为尚未构成犯罪，只要存在销售假冒注册商标的商品的侵权行为，市场监督管理部门也有权进行处理。
- 处理流程：市场监督管理部门在接到投诉或自行发现侵权行为后，会立即展开调查。一旦确认存在侵权行为，会责令侵权人立即停止侵权行为，没收、销毁侵权商品和主要用于制造侵权商品、伪造注册商标标识的工具，并处以罚款等行政处罚措施。对于情节严重的案件，市场监督管理部门还会将案件移交给公安机关进行进一步处理。
海关部门与进出口监管：
- 主要职责：海关部门可以根据商标权人的申请对商标进行备案，并在进出口环节对嫌疑货物进行扣留和查处。对于进出口的侵权货物，海关部门有权做出没收、罚款等行政处罚。
- 处理流程：商标权人可以向海关部门申请商标备案，海关部门在进出口环节加强对相关货物的监管。一旦发现嫌疑货物，海关部门会依法进行扣留和查处，并及时通知商标权人进行鉴定和处理。
人民检察院与法律监督：
- 主要职责：人民检察院负责对销售假冒注册商标的商品罪案件进行审查起诉。人民检察院在收到公安机关移送的案件后，会对案件的证据、事实等进行全面审查，决定是否向人民法院提起公诉，并代表国家指控犯罪，履行法律监督职责。
人民法院与审判：
- 主要职责：人民法院最终对销售假冒注册商标的商品罪案件进行审判。通过开庭审理，人民法院依据法律和事实对被告人是否构成犯罪、应承担何种刑事责任等作出公正的裁决。
在实际操作中，如果发现销售假冒注册商标的商品的行为，受害人或相关权利人可以根据具体情况选择合适的部门进行投诉或举报。例如，如果侵权行为主要发生在国内市场，可以向市场监督管理部门投诉；如果涉及进出口环节，可以向海关部门举报；如果已经构成犯罪，应直接向公安机关报案。
此外，企业和个人也应加强自身的法律意识和合规管理，避免销售假冒注册商标的商品，以免面临刑事责任和行政处罚。如果您在知识产权领域有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。