假冒商标的行为主要由以下几个部门负责管理和处理：

1. 市场监督管理部门（原工商行政管理部门）

   • 主要职责：市场监督管理部门是打击假冒商标行为的主要执法机构，负责查处各类商标侵权行为。它们依据《中华人民共和国商标法》等相关法律法规，对假冒注册商标等违法行为进行立案调查和处理。
   • 具体权限：
     • 责令立即停止侵权行为：对正在进行的假冒商标行为，市场监督管理部门有权要求行为人立即停止。
     • 没收、销毁侵权商品和工具：对查获的假冒商品及用于制造假冒商品的模具、印版等工具，依法予以没收并销毁。
     • 罚款：根据违法情节的严重程度，处以相应数额的罚款。
     • 情节严重的移送司法机关处理：对于构成犯罪的假冒商标行为，市场监督管理部门会及时移送公安机关追究刑事责任。

2. 公安机关

   • 主要职责：公安机关负责对涉嫌犯罪的假冒商标案件进行侦查。在市场监督管理部门移送的案件中，若认为有犯罪事实需要追究刑事责任的，公安机关将依法立案侦查。
   • 具体权限：
     • 立案侦查：对符合立案条件的假冒商标犯罪案件，公安机关依法开展侦查工作。
     • 采取强制措施：对犯罪嫌疑人可以采取拘留、逮捕等强制措施。
     • 移送检察机关审查起诉：侦查终结后，公安机关将案件移送检察机关审查起诉。

3. 海关部门

   • 主要职责：海关在进出口环节对商标专用权实施保护，防止假冒商标的商品进出境。它们依据《中华人民共和国知识产权海关保护条例》，对进出口货物中涉嫌侵犯商标权的商品进行查验和处理。
   • 具体权限：
     • 扣留侵权嫌疑货物：发现进出口货物有侵犯备案商标专用权嫌疑的，海关有权扣留相关货物。
     • 通知权利人确认：海关会通知商标权利人对被扣留的货物是否侵权进行确认。
     • 没收侵权货物并处罚款：经调查认定侵权的，海关会没收侵权货物并处以罚款；构成犯罪的，依法追究刑事责任。

在实际操作中，如果发现假冒商标的行为，您可以根据具体情况选择合适的部门进行投诉或举报：

• 如果假冒商标行为发生在国内市场，且尚未构成犯罪，您可以向当地的市场监督管理部门投诉。
• 如果假冒商标行为涉嫌犯罪，或者您不确定是否构成犯罪，您可以向公安机关报案。
• 如果假冒商标行为涉及进出口环节，您可以向海关部门举报。

此外，作为商标权人或消费者，您还可以采取以下措施来维护自身权益：

• 保留证据：在发现假冒商标行为时，及时保留相关证据，如购买凭证、商品照片、侵权商品等，以便后续维权。
• 寻求法律援助：如果您在维权过程中遇到困难或疑问，可以寻求专业律师的法律援助，以便更好地维护自身权益。

总之，假冒商标行为涉及多个部门的监管和处罚。在实际操作中，您应根据具体情况选择合适的部门进行投诉或举报，并保留好相关证据，以便后续维权。如果您有任何法律问题或需要进一步的法律咨询，请随时向我提问。