在遇到商标侵权问题时，负责处理的部门主要是市场监督管理部门（原工商行政管理部门职责承接者）。以下是对此问题的详细解答：
一、市场监督管理部门的职责与处理流程
职责概述：
- 市场监督管理部门是负责商标管理工作的行政机关，有权对涉嫌商标侵权的行为进行查处。
- 它们可以询问当事人、调查相关情况、查阅复制相关资料、实施现场检查等，以确认侵权行为是否成立。
处理流程：
- 投诉与受理：被侵权人可以向当地的市场监督管理部门投诉，提交商标注册证明、侵权商品或服务信息、购买凭证等相关证据材料。
- 调查与处理：市场监督管理部门在受理投诉后，会展开调查。若确认侵权行为成立，将责令侵权人立即停止侵权行为，没收并销毁侵权商品及制造工具，并处以罚款。对于情节严重者，将从重处罚。
- 调解与诉讼：若被侵权人与侵权人之间就赔偿数额等事项存在争议，市场监督管理部门可以进行调解。调解不成的，当事人可以依照《中华人民共和国民事诉讼法》向人民法院起诉。
二、其他可能的维权途径
人民法院的民事诉讼：
- 被侵权人也可以直接向人民法院提起商标侵权民事诉讼，要求侵权方承担停止侵权、消除影响、赔偿损失等民事责任。
- 法院在审理商标侵权案件时，会根据具体情况作出判决，确定赔偿数额等事项。
刑事责任的追究：
- 在商标侵权情况特别严重，涉嫌犯罪时，被侵权人可以向公安部门报案，由公安部门立案侦查。
- 若侵权行为构成犯罪，侵权人除承担民事责任外，还可能面临刑事处罚。
三、建议与注意事项
及时投诉与举报：
- 一旦发现商标侵权行为，被侵权人应尽快向市场监督管理部门投诉或举报，以便及时制止侵权行为并防止损失扩大。
准备充分的证据材料：
- 在投诉或举报前，被侵权人应尽可能收集并准备充分的证据材料，如商标注册证明、侵权商品或服务信息、购买凭证等，以支持其投诉或举报。
考虑专业法律帮助：
- 在处理商标侵权问题时，被侵权人可以考虑寻求专业律师的法律帮助，以确保其权益得到充分保护。律师可以协助准备投诉材料、指导投诉流程，并在必要时代表被侵权人参与法律诉讼。
总结来说，在遇到商标侵权问题时，被侵权人应首先考虑向市场监督管理部门投诉或举报。同时，根据实际情况，也可以选择向人民法院提起民事诉讼或向公安部门报案以追究刑事责任。在整个过程中，准备充分的证据材料并考虑寻求专业法律帮助是非常重要的。如果您在商标侵权方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。