结论：被执行人与债权人达成执行和解后，连带担保人一般不可以直接申请停止对自己的连带担保责任，但存在特定情形时，连带担保人可能免除部分或全部责任。以下从不同角度进行详细分析：
一、执行和解对连带担保责任的一般影响
执行和解的性质：
- 执行和解是执行程序中，申请执行人与被执行人之间就执行标的达成的和解协议。它并不改变原生效法律文书的效力，只是双方对执行方式、期限等内容的自愿协商和调整。
连带担保责任的特点：
- 连带担保责任是指担保人对债务人的债务承担连带清偿责任，即债权人可以直接向担保人追偿，而无需先向债务人追偿。这种责任是独立的，不因债务人与债权人之间的和解而自动免除。
二、连带担保人可能免除责任的特定情形
债权人明确放弃对连带担保人的追偿权：
- 如果债权人在执行和解协议中明确表示放弃对连带担保人的追偿权，那么连带担保人将不再承担担保责任。但这种情况较为少见，因为债权人通常不会轻易放弃对担保人的追偿权。
执行和解协议导致原债务消灭或变更：
- 如果执行和解协议导致原债务消灭（如债务人已全部履行债务）或变更（如债务金额减少、履行期限延长等），且这种变更得到了连带担保人的书面同意，那么连带担保人的责任可能相应减少或免除。但需要注意的是，根据《民法典》的相关规定，债权人和债务人未经保证人书面同意，协商变更主债权债务合同内容，减轻债务的，保证人仍对变更后的债务承担保证责任；加重债务的，保证人对加重的部分不承担保证责任。债权人和债务人变更主债权债务合同的履行期限，未经保证人书面同意的，保证期间不受影响。
连带担保人提出异议并得到法院支持：
- 如果连带担保人认为执行和解协议侵犯了其合法权益，如未经过其同意就变更了债务内容或履行方式等，连带担保人可以向法院提出异议。如果法院审查后认为异议成立，可能会裁定停止对连带担保人的执行或调整其担保责任。但这种情况需要连带担保人提供充分的证据证明其异议的合理性。
三、法律建议
审查执行和解协议：
- 连带担保人应仔细审查执行和解协议的内容，特别是关于债务变更、履行方式等条款，以评估其对自己担保责任的影响。
与债权人协商：
- 如果连带担保人认为执行和解协议对其不利，可以尝试与债权人协商，寻求双方都能接受的解决方案，如调整担保责任范围、期限等。
寻求法律救济：
- 如果连带担保人认为自己的合法权益受到侵害，且无法通过协商解决，可以向法院提出异议或提起诉讼，寻求法律救济。
举例说明：假设被执行人A与债权人B达成执行和解协议，约定A分期偿还债务，并减少了部分债务金额。连带担保人C未参与和解协议的签订，且未书面同意债务金额的减少。在此情况下，C仍需对原债务金额（未减少部分）承担连带担保责任。但如果C能够证明债务金额的减少未经其同意且对其不利，可以向法院提出异议，寻求调整其担保责任。
如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。