当用人单位没有与员工签订劳动合同，并且解雇员工时，赔偿问题确实需要根据具体情况来细致分析。以下是我为您整理的详细解答，希望能帮助您更好地理解相关法律规定和维权途径。

一、法律依据与责任认定

1. 未签合同的法律后果：

   • 根据《劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
   • 若用人单位自用工之日起满一年不与劳动者订立书面劳动合同，则视为双方已订立无固定期限劳动合同。

2. 违法解除的判定：

   • 如果用人单位无法证明解雇符合《劳动合同法》第三十九条（如严重违纪）或第四十条（如不胜任工作）规定的法定情形，那么解雇行为即构成违法解除。

3. 举证责任：

   • 劳动者需要提供与用人单位存在劳动关系的证据，如工资记录、工牌、考勤记录等。
   • 用人单位则需要证明解雇的合法性，若无法举证，则推定解雇违法。

二、赔偿金额计算方式

1. 双倍工资差额：

   • 适用条件：未签合同且在职超过一个月。
   • 计算方法：月工资乘以未签合同的月数（最多不超过11个月）。
   • 示例：若月薪为5000元，未签合同8个月，则双倍工资差额为5000元×8=40,000元。

2. 经济赔偿金：

   • 适用条件：违法解除劳动关系。
   • 计算方法：月工资乘以工作年限再乘以2。
   • 示例：若工作6个月被违法解雇，月薪为5000元，则经济赔偿金为5000元×0.5×2=5,000元。

3. 代通知金（部分地区适用）：

   • 适用条件：用人单位未提前30日书面通知解雇。
   • 计算方法：通常为1个月工资。

注：月工资指的是离职前12个月的平均工资，包括奖金、津贴等货币性收入。

三、维权步骤建议

1. 证据收集：

   • 收集与用人单位存在劳动关系的证据，如考勤记录、银行流水、工作证、同事证言等。
   • 保留解雇通知书、沟通录音、电子邮件等关键证据。

2. 协商谈判：

   • 向用人单位提出书面索赔要求，明确法律依据和计算明细。

3. 劳动仲裁：

   • 时效：离职后一年内申请劳动仲裁。
   • 材料：准备仲裁申请书、证据清单、身份证明等材料。
   • 优势：劳动仲裁程序简便、成本低，且裁决具有强制执行力。

4. 诉讼救济：

   • 如果对仲裁结果不服，可以向法院提起诉讼。一审普通程序审理期限为6个月。

四、注意事项

• 时效风险：双倍工资差额的主张存在1年的仲裁时效限制，因此需及时维权。
• 地区差异：代通知金在部分省市（如北京、上海）适用于特定情形，需核查当地规定。
• 社保补缴：在主张赔偿的同时，还可以要求用人单位补缴工作期间的社会保险费用。

综上所述，当用人单位未与员工签订劳动合同并解雇员工时，员工有权根据法律规定主张相应的赔偿。为了维护自己的合法权益，建议您及时收集证据、与用人单位协商谈判，并在必要时通过劳动仲裁或诉讼途径来解决问题。希望这些信息能对您有所帮助。