工厂一般无权直接对员工进行罚款，但需分情况讨论具体责任与处理方式：

1. 工厂罚款权的法律限制
   根据《劳动合同法》及相关规定，用人单位（工厂）并非行政机关，不具有行政处罚权，因此无权直接对员工进行罚款。若工厂以“打错螺丝”为由直接扣除工资，可能涉嫌违法克扣工资，员工有权通过劳动仲裁主张权益。

2. 工厂可采取的合法管理措施

   • 规章制度约束：若工厂在合法制定的规章制度中明确规定“操作失误导致损失的责任承担方式”（如赔偿损失、绩效扣分等），且该制度已通过民主程序公示并告知员工，则可依据制度要求员工承担相应责任。
     
   • 损失赔偿范围：根据《工资支付暂行规定》，员工因故意或重大过失造成工厂损失的，工厂可要求赔偿，但每月扣除部分不得超过员工当月工资的20%，且扣除后工资不得低于当地最低工资标准。
     
   • 绩效管理：工厂可将操作失误纳入绩效考核，通过降低绩效工资或奖金的方式间接调整员工收入，但需确保考核标准明确、程序合法。

3. 员工打错螺丝的具体责任认定

   • 过失程度：若员工因疏忽大意（如未遵守操作规范）导致打错螺丝，属于一般过失，工厂通常只能要求纠正或承担部分损失；若员工存在故意或重大过失（如恶意破坏、多次违规），工厂可主张全额赔偿。
     
   • 损失因果关系：工厂需证明打错螺丝与实际损失之间的直接关联（如产品报废、返工成本等），否则员工可能无需承担赔偿责任。

4. 建议处理流程

   • 工厂方：应优先通过培训、监督等方式预防操作失误；若需追责，需依据合法制度，保留损失证据（如维修记录、成本清单），并与员工协商赔偿方案。
     
   • 员工方：若工厂违法罚款，可要求出具书面处罚依据；若对处罚有异议，可向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁。

总结：工厂无权直接罚款，但可通过合法制度要求员工承担损失赔偿责任（需符合比例原则）。双方均需以证据为基础，通过协商或法律途径解决争议。如有具体案例或细节需要进一步分析，可直接向我咨询。