结论前置：没有签合同，公司不可以随时辞退员工。无论是用人单位还是劳动者，在未签订劳动合同的情况下，均不能随意随时辞退或离职，必须遵循法律规定来处理劳动关系。以下是对此问题的详细分析：
一、劳动关系的建立与劳动合同的签订
根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，自用工之日起，劳动者与用人单位之间即建立了劳动关系。尽管双方可能未签订书面的劳动合同，但劳动关系依然存在，且受相关法律法规的保护。用人单位应当自用工之日起一个月内与劳动者订立书面劳动合同，这是法律规定的义务。
二、公司辞退员工的合法情形及程序
合法辞退的情形：
- 员工存在严重违反公司规章制度、失职造成重大损害等过错时，公司可以解除劳动合同，但需提供充分证据证明员工的过错行为。
- 因员工患病或非因工负伤，在规定的医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作的；或者员工不能胜任工作，经过培训或者调整工作岗位，仍不能胜任工作的；或者劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化，致使劳动合同无法履行，经用人单位与劳动者协商，未能就变更劳动合同内容达成协议的。在这些情况下，公司可以提前三十日以书面形式通知员工本人或者额外支付员工一个月工资后，解除劳动合同，并依法支付经济补偿。
违法辞退的后果：
- 如果公司无正当理由辞退未签合同的员工，将构成违法解除劳动合同。此时，员工有权要求继续履行合同；若合同无法继续履行或员工不要求继续履行，公司需按经济补偿标准的二倍向员工支付赔偿金。赔偿金的计算依据为员工在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年的按一年计算，不满六个月的支付半个月工资。
三、未签订劳动合同的法律风险与应对
法律风险：
- 若用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同，需向劳动者每月支付二倍的工资。
- 满一年仍未签合同的，视为已订立无固定期限劳动合同，用人单位可能面临更复杂的劳动关系管理问题。
应对建议：
- 为避免不必要的纠纷和法律风险，公司应尽快与员工签订书面劳动合同，明确双方的权利和义务。
- 同时，公司应建立健全的用人制度和管理体系，确保在辞退员工时能够依法依规进行，维护双方的合法权益。
四、劳动者的权益保护
- 即使未签订劳动合同，劳动者也享有法定的权益，如获得劳动报酬、享受社会保险和福利、休息休假等。
- 若公司存在未及时支付工资、未缴纳社保等违法行为，劳动者有权向当地劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁来维护自己的合法权益。
总结与建议：没有签合同，公司不可以随时辞退员工。公司应严格遵守相关法律法规，及时与员工签订书面劳动合同，并依法管理劳动关系。作为劳动者，也应了解自己的权益和义务，依法维权。如果您在劳动关系中遇到任何问题或纠纷，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供专业的法律建议和帮助。