当您和路人发生冲突并打起来时，警察会依据相关法律法规进行一系列妥善的处理。以下是详细的处理流程，希望能为您提供清晰的解答：

一、接警与迅速出警

一旦接到关于打架的报警，派出所会立即记录警情，并迅速安排警力赶赴现场。这是为了及时制止违法行为，确保现场人员的安全。

二、现场的紧急处置

1. 制止打人行为：民警到达现场后，首要任务是制止正在进行的打人行为，防止事态进一步恶化。

2. 控制嫌疑人：如果打人者仍在现场，民警会迅速将其控制，防止其逃跑或再次实施伤害行为。

3. 救助伤者：同时，民警会立即查看是否有人员受伤，并及时拨打120急救电话，安排伤者接受救治。

4. 全面调查取证：民警会询问当事人（包括打人者、被打者以及目击证人）以了解事情的具体经过，并收集现场证据，如遗落的物品、监控视频等，为后续处理提供依据。

三、根据案件性质进行具体处理

1. 调解处理：

   • 适用情形：如果打架斗殴是由于民间纠纷引起的，且双方当事人愿意调解，派出所可以组织调解。
   • 调解结果：如果双方达成调解协议并履行，那么将不予处罚；如果未达成协议或不履行，将依法对违反治安管理行为人给予处罚，并告知当事人可以就民事争议向法院提起民事诉讼。

2. 治安处罚：

   • 适用法条：根据《中华人民共和国治安管理处罚法》第四十三条，殴打他人或故意伤害他人身体的，将受到相应的治安处罚。
   • 处罚方式：具体处罚包括五日以上十日以下拘留，并处二百元以上五百元以下罚款；如果情节较轻，则可能处五日以下拘留或五百元以下罚款。在特定情形下，如结伙殴打、伤害残疾人、孕妇等特殊人群，处罚将更为严厉。

3. 刑事立案：

   • 适用情形：如果打人行为造成他人轻伤以上后果，可能构成故意伤害罪，那么派出所将依据《中华人民共和国刑法》第二百三十四条进行立案侦查。
   • 处理流程：对犯罪嫌疑人采取强制措施，继续侦查并收集证据，侦查终结后移送检察机关审查起诉。

四、后续的跟进工作

1. 告知权利义务：民警会向双方当事人明确其在案件处理过程中的权利和义务，如申请行政复议、提起行政诉讼等。

2. 关注伤者情况：民警会持续关注伤者的治疗进展和伤情鉴定结果，因为这将直接影响案件的最终处理方式。

3. 回访与安抚：案件处理完毕后，民警还会对当事人进行回访，了解其满意度，并做好解释和安抚工作。

总之，无论打人行为的性质如何，警察都会依法进行处理。轻微的打架斗殴可能通过调解解决，而严重的违法行为则将面临治安处罚甚至刑事处罚。因此，我建议您在遇到类似情况时，务必保持冷静，避免采取过激行为，以免给自己和他人带来不必要的麻烦和损失。