民政部门在特定情形下有权将私自收养的社会弃婴强制送到儿童福利院，具体分析如下：

1. 法律依据与民政部门职责
   根据《民法典》第一千零九十六条及《中国公民收养子女登记办法》，收养需向县级以上民政部门登记，未经登记的收养关系不受法律保护。民政部门作为儿童福利主管机关，对弃婴的安置、收养合法性审查及儿童权益保护负有法定职责。若发现私自收养行为违反法律规定（如未办理登记、收养人条件不符等），民政部门有权介入。

2. 强制送养的法定情形

   • 弃婴身份确认：若儿童被认定为“弃婴”（即无法查明生父母或其他监护人），民政部门需依法将其送交儿童福利院抚养（《未成年人保护法》第九十三条）。
     
   • 收养行为违法：若私自收养人存在虐待、遗弃儿童，或收养条件不符合《民法典》规定（如无抚养能力、有犯罪记录等），民政部门可撤销收养关系，并将儿童安置至福利机构。
     
   • 儿童权益受损：若私自收养环境危及儿童身心健康（如收养人患病、家庭条件恶劣等），民政部门可基于“儿童最大利益原则”强制介入。

3. 程序要求
   民政部门需遵循法定程序：

   • 调查核实收养情况（如收养人资格、儿童健康状况等）；
     
   • 听取收养人陈述申辩；
     
   • 作出书面决定并送达当事人；
     
   • 若收养人不服，可依法申请行政复议或提起行政诉讼。

4. 例外情形
   若私自收养人已与儿童形成事实抚养关系，且符合《民法典》收养条件（如无子女、有抚养能力等），可补办收养登记手续，此时民政部门无权强制送养。

建议：若您涉及私自收养问题，需立即核实自身是否符合收养条件，并尽快补办登记手续；若已收到民政部门通知，可要求其出具书面决定并依法维权。如有进一步疑问，可直接向我咨询。