民政部门在符合法定条件时，有权将私自收养二年的弃婴送到儿童福利院，主要依据《中华人民共和国民法典》和《中国公民收养子女登记办法》的相关规定。具体分析如下：

1. 私自收养行为的法律性质
   根据《民法典》第一千零四十四条，收养应当向县级以上人民政府民政部门登记，收养关系自登记之日起成立。未办理合法收养登记的私自收养行为，在法律上不被认定为有效收养关系。即使收养人实际抚养弃婴多年，仍需补办登记手续才能确立法律上的父母子女关系。

2. 民政部门介入的法律依据

   • 《民法典》第一千零九十六条规定：“监护人送养孤儿的，应当征得有抚养义务的人同意。查找不到生父母的未成年人的监护人，包括民政部门设立的儿童福利机构、流浪乞讨救助机构等。”
     若弃婴的生父母无法查找，且私自收养人未依法办理收养登记，民政部门作为法定监护主体，有权对弃婴的安置问题作出决定。
   • 《中国公民收养子女登记办法》第六条明确：收养人应当向收养登记机关提交“有抚养教育被收养人的能力等证明材料”。若私自收养人未通过民政部门审查（如经济条件、健康状况、品行等不符合要求），民政部门可拒绝其收养申请，并依法安置儿童。

3. 民政部门强制送养的程序要求
   民政部门需遵循以下程序：

   • 调查核实：确认弃婴身份、生父母情况，及私自收养人是否符合法定收养条件；
     
   • 告知义务：向私自收养人说明其行为违法性及需补办的手续；
     
   • 安置决定：若收养人无法补办登记或不符合条件，民政部门可将儿童送交儿童福利院抚养，并为其办理户籍登记。

4. 例外情形：事实收养关系的认定
   若私自收养行为发生在《民法典》实施前（2021年1月1日前），且符合“事实收养”条件（如公开抚养多年、周围群众公认、户籍登记为子女等），部分地区可能通过补办登记或司法确认方式认可收养关系。但此类情形需具体分析，且需以当地政策为准。

建议：若您或他人涉及私自收养问题，应尽快向当地民政部门咨询补办收养登记的流程，或通过法律途径确认收养关系合法性，以保障儿童权益及自身法律风险。如有进一步疑问，可直接向我提问。